108 高普考高考三級 測量製圖 測量平差法（包括誤差理論及實務） 考古題詳解

核心觀念

本題旨在評量非線性函數之誤差傳播定律（變異數－共變異數傳播定律，Law of Propagation of Variances and Covariances）。

1. 非線性函數線性化（泰勒級數一階展開）： 設有觀測向量 $L = \begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix}^T$，其函數為非線性純量函數 $F = f(x, y, z)$。在給定展開點（觀測值）處，將函數展開為一階泰勒級數： $F \approx F_0 + J \Delta L$ 其中 $J$ 為一階偏導函數所組成的雅可比矩陣（Jacobian Matrix，本題中為 $1 \times 3$ 之列向量）： $J = \begin{bmatrix} \frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial y} & \frac{\partial F}{\partial z} \end{bmatrix}$

2. 協方差傳播矩陣公式： 根據協方差傳播定律，函數 $F$ 的方差－協方差矩陣 $\Sigma_{FF}$ 為： $\Sigma_{FF} = J \Sigma_{LL} J^T$ 由於 $F$ 為單一純量函數，$\Sigma_{FF}$ 實為 $1 \times 1$ 之矩陣，即函數 $F$ 的變異數（方差）$\sigma_F^2$。

3. 相關觀測量之方差合成： 本題觀測量 $x$ 與 $z$ 之間存在協方差 $\sigma_{xz} = -2 \neq 0$（具相關性），計算時須完整納入兩者之互協方差項（交叉項）。

解題方法

步驟一：列出已知矩陣與函數

給定觀測量之方差－協方差矩陣為： $\Sigma_{LL} = \begin{bmatrix} \sigma_x^2 & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_y^2 & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_z^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 0 & -2 \\ 0 & 4 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ 待求函數為： $F(x, y, z) = x^2 + z^{1/2}$

步驟二：求函數對各變數之一階偏導函數（雅可比矩陣 $J$）

分別對 $x$、$y$、$z$ 進行一階偏微分： $\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$ $\frac{\partial F}{\partial y} = 0$ $\frac{\partial F}{\partial z} = \frac{d}{dz}(z^{1/2}) = \frac{1}{2} z^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{z}}$

步驟三：代入已知點數值求雅可比矩陣數值

在 $x = 12$、$z = 14$ 時，各偏導函數值為： $\left. \frac{\partial F}{\partial x} \right|_{x=12} = 2(12) = 24$ $\left. \frac{\partial F}{\partial y} \right| = 0$ $\left. \frac{\partial F}{\partial z} \right|_{z=14} = \frac{1}{2\sqrt{14}}$

因此，雅可比矩陣為： $J = \begin{bmatrix} 24 & 0 & \frac{1}{2\sqrt{14}} \end{bmatrix}$

步驟四：代入協方差傳播定律公式計算 $\Sigma_{FF}$

由 $\Sigma_{FF} = J \Sigma_{LL} J^T$ 進行矩陣乘法：

先計算 $J \Sigma_{LL}$： $J \Sigma_{LL} = \begin{bmatrix} 24 & 0 & \frac{1}{2\sqrt{14}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & 0 & -2 \\ 0 & 4 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

• 第一行（對應 $x$）：$24 \times 6 + 0 \times 0 + \frac{1}{2\sqrt{14}} \times (-2) = 144 - \frac{1}{\sqrt{14}}$

核心觀念

直接水準測量的高程差觀測精度與路線長度有關；在同一測量條件下，觀測值的方差與路線長度成正比。因此，路線長度愈短，權愈大，取

三條路線長度為 $1.61:3.22:4.83=1:2:3$，可取相對權數為 $6:3:2$。加權平均值為

本題未提供單位權標準差，須由觀測殘差估計；因有三筆觀測、估計一個高程差，故自由度為 $3-1=2$。

解題方法

以相對權數 $p_1=6,\ p_2=3,\ p_3=2$ 計算高程差加權平均值：

各觀測值的殘差為 $v_i=H_i-\bar{H}$：

核心觀念

本題旨在測驗考生在非線性觀測條件下，運用間接觀測平差法（Indirect Observation Adjustment / Gauss-Markov Model）​解算幾何參數、評估平差值精度，以及結合測圖比例尺進行誤差傳播的綜合應用能力。涵蓋以下核心觀念：

1. 觀測方程式之建立與泰勒級數線性化： 長度 $X$、寬度 $Y$ 為直接觀測，面積 $Z = X \cdot Y$ 為長寬之乘積，屬非線性函數。平差時須在近似值 $(x_0, y_0)$ 處展開為一階泰勒級數，化為線性矩陣形式 $V = A\mathbf{x} - l$。
2. 權矩陣（Weight Matrix）之定權準則： 各觀測量相互獨立，權與變方成反比（$P_i = \sigma_0^2 / \sigma_i^2$）。選定合適的單位權中誤差 $\sigma_0$，可使權矩陣簡化為單位矩陣。
3. 法方程式（Normal Equations）組建與求解： 依據最小二乘法原理 $V^T P V = \min$，組成法方程式 $N\mathbf{x} = U$（其中 $N = A^T P A$，$U = A^T P l$），求出參數改正數 $\mathbf{x} = N^{-1}U$。
4. 多餘觀測數與單位權標準差評估： 多餘觀測數（自由度）$r = n - u$（觀測數減未知數個數）。驗後單位權方差為 $\hat{\sigma}_0^2 = \frac{V^T P V}{r}$。
5. 比例尺換算與誤差傳播定律（Law of Error Propagation）： 比例尺為 $1/M$ 時，圖上長度換算至實地長度放大 $M$ 倍，圖上面積換算至實地面積放大 $M^2$ 倍。參數函數之標準差則由協方差矩陣 $\Sigma_{\hat{\mathbf{x}}} = \sigma_0^2 N^{-1}$ 透過雅可比矩陣（Jacobian Matrix）傳播求得。

解題方法

步驟一：統一單位與比例尺關係

比例尺分母 $M = 2000$。

• 圖上 $1\ \mathrm{cm} = 2000\ \mathrm{cm} = 20\ \mathrm{m}$（實地長度放大倍率 $k_L = 20\ \mathrm{m/cm}$）。
• 圖上 $1\ \mathrm{cm}^2 = (20\ \mathrm{m})^2 = 400\ \mathrm{m}^2$（實地面積放大倍率 $k_A = 400\ \mathrm{m^2/cm^2}$）。

將所有觀測值及其標準差統一化為圖上單位（長度為 $\mathrm{cm}$，面積為 $\mathrm{cm}^2$）：

• $L_1 = X = 50\ \mathrm{cm}$，$\sigma_X = 6\ \mathrm{mm} = 0.6\ \mathrm{cm}$
• $L_2 = Y = 30\ \mathrm{cm}$，$\sigma_Y = 6\ \mathrm{mm} = 0.6\ \mathrm{cm}$
• $L_3 = Z = 1535\ \mathrm{cm}^2$，$\sigma_Z = 60\ \mathrm{mm}^2 = 0.6\ \mathrm{cm}^2$

步驟二：未知參數設定與定權

• 觀測個數 $n = 3$（$X, Y, Z$）。
• 設圖上矩形之長與寬的真值為未知參數：$x, y$（參數個數 $u = 2$）。
• 多餘觀測數（自由度）：$r = n - u = 3 - 2 = 1$。
• 選取參數近似值為：$x_0 = 50\ \mathrm{cm}$，$y_0 = 30\ \mathrm{cm}$。
• 參數改正數為：$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} dx \\ dy \end{bmatrix}$。

選取驗前單位權標準差 $\sigma_0 = 0.6$（單位權變方 $\sigma_0^2 = 0.36$），各觀測量獨立，其權為： $P_X = \frac{\sigma_0^2}{\sigma_X^2} = \frac{0.36}{0.6^2} = 1$ $P_Y = \frac{\sigma_0^2}{\sigma_Y^2} = \frac{0.36}{0.6^2} = 1$ $P_Z = \frac{\sigma_0^2}{\sigma_Z^2} = \frac{0.36}{0.6^2} = 1$ 權矩陣為單位矩陣： $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I_3$

步驟三：列出觀測方程式並線性化

平差值滿足之幾何關係： $\hat{X} = \hat{x} = x_0 + dx$ $\hat{Y} = \hat{y} = y_0 + dy$ $\hat{Z} = \hat{x}\hat{y} = (x_0 + dx)(y_0 + dy) \approx x_0 y_0 + y_0 dx + x_0 dy$

代入觀測殘差式 $V = \hat{L} - L$： $v_1 = dx + (x_0 - X) = dx + (50 - 50) = dx$ $v_2 = dy + (y_0 - Y) = dy + (30 - 30) = dy$ $v_3 = y_0 dx + x_0 dy + (x_0 y_0 - Z) = 30 dx + 50 dy + (1500 - 1535) = 30 dx + 50 dy - 35$

化為矩陣形式 $V = A\mathbf{x} - l$： $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 30 & 50 \end{bmatrix}, \quad l = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 35 \end{bmatrix}$

步驟四：組成法方程式並求解未知數

計算法方程式係數矩陣 $N = A^T P A = A^T A$： $N = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 30 \\ 0 & 1 & 50 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 30 & 50 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 30^2 & 30 \times 50 \\ 30 \times 50 & 1 + 50^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 901 & 1500 \\ 1500 & 2501 \end{bmatrix}$

計算常數向量 $U = A^T P l = A^T l$： $U = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 30 \\ 0 & 1 & 50 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 35 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 30 \times 35 \\ 50 \times 35 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1050 \\ 1750 \end{bmatrix}$

求 $N$ 的行列式值與逆矩陣 $N^{-1}$： $\det(N) = 901 \times 2501 - 1500^2 = 2253401 - 2250000 = 3401$ $N^{-1} = \frac{1}{3401} \begin{bmatrix} 2501 & -1500 \\ -1500 & 901 \end{bmatrix}$

解得參數改正數 $\mathbf{x} = N^{-1}U$： $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} dx \\ dy \end{bmatrix} = \frac{1}{3401} \begin{bmatrix} 2501 & -1500 \\ -1500 & 901 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1050 \\ 1750 \end{bmatrix} = \frac{35}{3401} \begin{bmatrix} 2501 \times 30 - 1500 \times 50 \\ -1500 \times 30 + 901 \times 50 \end{bmatrix}$ $\mathbf{x} = \frac{35}{3401} \begin{bmatrix} 30 \\ 50 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1050}{3401} \\ \frac{1750}{3401} \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 0.3087\ \mathrm{cm} \\ 0.5146\ \mathrm{cm} \end{bmatrix}$

核心觀念

本題以等權間接觀測平差求待定點坐標改正數。觀測方程為

其中 $X=[dx_P,\ dy_P]^T$，$V$ 為觀測殘差。因四個角度等權，權矩陣 $P=I$，最小二乘解為

坐標平差值等於近似坐標加上改正數。坐標標準差則由殘差估計單位權標準差，再乘上法方程係數矩陣反矩陣求得。

解題方法

先組成法方程：

解法方程

得到

因此，$P$ 點坐標平差值為

依題示 $JX=K+V$，殘差為 $V=J\hat X-K$，計得