108 高普考高考三級 測量製圖 大地測量（包括衛星定位測量） 考古題詳解

核心觀念

這題考的是參考橢球改變後，固定地表點的橢球坐標如何改變。橢球坐標是相對於指定參考橢球與其坐標原點、方向所定義的，因此同一個實際地表點，改用不同橢球表示時，坐標通常會改變。

橢球坐標包括大地緯度 $\varphi$、大地經度 $\lambda$ 與橢球高 $h$。僅比較橢球參數，尚不足以計算新坐標的精確數值；還須知道新舊坐標系的原點、方向、尺度，以及該點的原坐標或地心位置。不過，題目可由橢球參數判斷坐標變化的性質。

解題方法

對於固定地表點，若新舊坐標系採用相同的地心原點與方向：

• 經度 $\lambda$ 不變：改變橢球的長短軸不會改變點的地心經線方向。
• 大地緯度 $\varphi$ 改變：大地緯度是點的法線與赤道面的夾角；橢球形狀改變後，該點處的法線方向通常也會改變。
• 橢球高 $h$ 改變：橢球高是點沿橢球法線至參考橢球面的距離；橢球面改變後，這段距離通常也會改變。

核心觀念

地球橢球上，沿子午線的微小緯度變化所對應的距離，由子午圈曲率半徑 $M$ 決定；沿卯酉圈的微小經度變化所對應的距離，由卯酉圈曲率半徑 $N$ 及緯度決定。

緯度、經度的微分均須以弧度表示。緯差 $d\varphi$ 與經差 $d\lambda$ 的曲線距離分別為

其中，第一偏心率平方為 $e^2=2f-f^2$，且

解題方法

題目給定緯度 $\varphi=23.5^\circ$。經差一分與緯差一分都先換算為弧度：

由 WGS84 參數計算：

代入 $\varphi=23.5^\circ$ 得

核心觀念

本題考查圓形衛星軌道的軌道週期，以及軌道傾角如何限制衛星星下點的緯度範圍。

衛星軌道週期依開普勒第三定律計算：

其中 $a$ 是衛星至地心的軌道半徑。題目給的是離地高度，須先加上地球半徑：

「垂直觀測地表」指衛星沿星下點方向觀測；因此可到達的地面位置，由星下點軌跡決定。

解題方法

已知地球半徑 $R=6371\ \mathrm{km}$、衛星離地高度 $h=20240\ \mathrm{km}$，故軌道半徑為：

代入 $GM=398600.4418\ \mathrm{km^3/s^2}$：

換算為小時：

核心觀念

精度稀釋因子（Dilution of Precision，DOP）描述衛星幾何分布對衛星定位解算精度的影響。它是無因次指標：在觀測誤差水準相同時，DOP 越小，衛星幾何條件越佳，定位精度通常越高；DOP 越大，幾何條件越差，觀測誤差對位置解的影響越大。

DOP 本身不是實際位置誤差，也不直接表示座標精度；實際誤差還取決於觀測噪聲、多路徑、衛星鐘差與軌道誤差、大氣延遲等因素。

解題方法：由觀測方程求幾何矩陣

以偽距定位為例，對每顆衛星建立線性化觀測方程。將衛星與接收機間的視線方向餘弦，以及接收機鐘差項排列成設計矩陣 $A$。若各觀測等權，參數解的協方差矩陣與下式成比例：

$Q$ 的對角元素代表各參數的幾何精度因子平方；將位置與鐘差相關項取適當的跡，即可得到各種 DOP。若每筆觀測的標準差為 $\sigma_0$，則參數協方差矩陣為：

因此，DOP 衡量的是衛星幾何造成的精度放大；實際標準差可由「觀測標準差乘上相應 DOP」估計。

以局部東、北、天坐標表示，設位置協方差矩陣為 $Q_{ENU}$，鐘差參數的變異數為 $q_{tt}$，則常用指標為：

其中 HDOP、VDOP、PDOP、TDOP 分別代表水平、垂直、三維位置與接收機鐘差的精度稀釋因子；GDOP 同時包含三維位置與鐘差。