111 專技高考高等考試 都市計畫技師 計畫分析方法 考古題詳解

核心觀念

本題考查人口資料整理、人口密度與成長趨勢分析，以及以既有資料推估未來人口。主要公式如下：

依原頁掃描圖辨讀，表中部分數值與題目文字轉錄不同。以下採用掃描圖所列資料：分區 2 至 6 的人口數依序為「2：2,200、2,200、2,200；3：1,500、3,300、3,300；4：1,200、2,000、3,600；5：1,000、1,500、2,000；6：600、1,200、2,400」。

解題方法與資料處理

先加總各年度人口，再按各分區面積計算人口密度；接著比較各期人口變化與空間分布。題目未指定預測年，以下以民國 115 年為例，採用算術增加法，以民國 85 年至 105 年的平均年增人口外推。這種方法便於呈現線性趨勢，且可直接比較各分區人口增減。

整體人口成長如下：

二十年間增加 6,700 人，總成長率為 $6,700/7,600=88.16\%$。雖然人口持續增加，第二個十年的成長率較低，顯示整體成長速度減緩。

人口特性分析

核心觀念

區位配置問題（Location-Allocation Problem, LAP）為都市與區域計畫中探討公共及私人設施空間分佈的核心計量方法。主要涉及在既定的空間網絡（節點或路網）上，決定最優之設施設置地點，並將空間需求點有效指派至各設施。

1. $P$ 中位模式（$P$-Median Problem）： 由 Hakimi 於 1964 年提出，旨在給定 $P$ 座候選設施的限制下，尋求使「所有需求點至其所屬設施之加權總旅行距離（或時間、成本）」達到最小的配置方案。其核心哲學為總和最小化（Min-Sum），追求**整體社會效率（Efficiency）**最大化，代表多數人的總通行成本最小。
2. $P$ 中心模式（$P$-Center Problem）： 同樣由 Hakimi 提出，旨在給定 $P$ 座候選設施的限制下，尋求使「任一需求點至其最近設施之最大距離（或旅行時間）」達到最小。其核心哲學為極大值最小化（Min-Max），追求**空間公平性（Equity）**與極端情境保障，確保最偏遠、最不利之需求點獲得合宜服務。

解題方法

(一) 適合應用 $P$ 中位模式的案例與理由（10 分）

1. 應用案例： 直轄市各行政區「公立圖書館分館」之區位選址與服務劃分（亦可舉：市立托幼中心、垃圾資源回收轉運站、公立社區運動中心）。
2. 適用理由：

• 日常性頻繁使用設施：公共圖書館屬於非緊急、常態性被利用之公眾文化服務設施，居民前往之頻率穩定，評估指標首重「廣大市民往返設施之總體便利性與總旅次時間」。
• 追求整體社會效益最大化（效率導向）：在政府財政與資源有限（僅能興建或營運固定數量 $P$ 座分館）下，規劃目標在於使全體市民前往圖書館的加權總通行距離或總交通成本降至最低，符合 $P$ 中位模式「加權總距離最小化（Min-Sum）」之數理特性。
• 能反映人口空間分佈權重：該模式能結合各里、生活圈之人數作為需求加權（$w_i$），將分館導向人口集中、高密度之交通節點，使資源獲得最具規模效益之配置。

(二) 目標函數與數學規劃模式設定（5 分）

以「公立圖書館分館區位選址」為例，數學模型之參數、決策變數及目標函數設定如下：

1. 符號與參數定義

• $I$：空間需求點（如各行政里或統計區重心）之集合，指標為 $i$，$i \in I$。
• $J$：候選圖書館設置地點之集合，指標為 $j$，$j \in J$。
• $w_i$：需求點 $i$ 的服務需求量（例如：該里之人數或學齡人口數）。
• $d_{ij}$：需求點 $i$ 至候選設施點 $j$ 之間的最短網絡距離或旅行時間。
• $P$：預計設置之公立圖書館分館總數。

2. 決策變數（Decision Variables）

• $y_j \in \{0, 1\}$：設施設置決策變數。若在候選點 $j$ 興建圖書館分館，則 $y_j = 1$；否則 $y_j = 0$。
• $x_{ij} \in \{0, 1\}$：指派（配置）決策變數。若需求點 $i$ 由設在 $j$ 之圖書館分館提供服務，則 $x_{ij} = 1$；否則 $x_{ij} = 0$。

3. 目標函數（Objective Function）

尋求全體市民至圖書館之加權總旅行距離（或總時間）最小化： $\min Z = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} w_i d_{ij} x_{ij}$

4. 必要限制條件（Constraints，輔助完整性）

• $\sum_{j \in J} x_{ij} = 1, \quad \forall i \in I$（每一需求點必須且僅能被指派至一個圖書館設施）
• $x_{ij} \le y_j, \quad \forall i \in I, j \in J$（需求點只能指派給確定有設立圖書館之候選點）
• $\sum_{j \in J} y_j = P$（精確設置 $P$ 座圖書館分館）
• $x_{ij}, y_j \in \{0, 1\}, \quad \forall i \in I, j \in J$（決策變數皆為二元整數）

核心觀念

本題測驗都市計畫與運輸規劃實務中「旅次特性調查」的**抽樣調查設計（Sampling Survey Design）**能力，涉及以下核心觀念：

1. 抽樣母體與清冊（Sampling Frame）：家戶旅次調查（Household Travel Survey, HTS）通常以目標調查區域內的全體「家戶」為調查單位（Sampling Unit），以設籍資料、戶籍名冊、門牌地址清冊或住宅電力用戶清冊為抽樣底冊。
2. 機率抽樣方法（Probability Sampling Methods）：

• 簡單隨機抽樣（SRS）：母體中每個元素有相同且獨立的被抽取機率 $\frac{n}{N}$。
• 系統隨機抽樣（Systematic Sampling）：依固定間隔 $k = \frac{N}{n}$ 等距抽取。
• 分層隨機抽樣（Stratified Sampling）：依影響調查變數的重要屬性（如交通分區、家戶收入、汽機車持有數）劃分次群體，滿足「層內同質（Homogeneous within strata）、層間異質（Heterogeneous between strata）」。
• 集叢隨機抽樣（Cluster Sampling）：以地理鄰近性（如里、鄰、街廓、社區大樓）將母體劃分為群組，群組內應「集叢內異質（Heterogeneous within clusters）、集叢間同質（Homogeneous between clusters）」，隨機抽取若干集叢後進行普查或二階段調查。

3. 交通分區與旅次矩陣（TAZ & O-D Matrix）之推估需求：家戶旅次調查的核心成果為建立「交通分析分區（Traffic Analysis Zones, TAZ）」之間的旅次起訖矩陣（Origin-Destination Matrix）。分區空間代表性與調查執行成本（人力、交通移動時間）是評估抽樣方法適宜性的兩大關鍵指標。

解題方法

1. 第 (一) 子題：針對每種抽樣方法，不能僅寫統計學教科書上的抽象公式，必須套入家戶旅次調查的實務脈絡，依序寫出四個標準化作業程序：

• 建立抽樣底冊（Sampling Frame）。
• 編號或分組／分層作業。
• 隨機抽樣執行步驟（抽取公式與規則）。
• 樣本確認與家戶調查派案。

2. 第 (二) 子題：評估比較四種方法的優劣，明確給出結論：

• 最適合方式：分層隨機抽樣（Stratified Random Sampling）（實務上為保證各 TAZ 及各社經階層之精度）。
• 具備高度可行性之實務搭配方式：集叢抽樣／多階段抽樣（Cluster / Multi-stage Sampling）（為節省入戶面訪的交通移動與訪查成本）。
• 闡述為何「簡單隨機抽樣」與「系統抽樣」較不適合（空間分布過於分散導致訪員調查成本過高、小交通分區容易樣本不足無法校正 O-D 矩陣、底冊周期性偏差等）。

選項分析

本題為申論與計算說明題，無選擇題選項；四種抽樣方式於「家戶旅次調查」之適用性比較分析如下：

• 簡單隨機抽樣（Simple Random Sampling）：
• 適用性評價：不適合。
• 原因分析：抽樣點隨機分散於全都市各角落，實地入戶訪查時訪員交通移動時間極長、行政成本巨大；人口較少的小型交通分區（TAZ）可能抽不到足夠樣本，導致分區旅次產生與吸引量推估的變異數過大。
• 系統隨機抽樣（Systematic Random Sampling）：
• 適用性評價：次等／需謹慎使用。
• 原因分析：雖操作簡便且能均勻涵蓋清冊，但門牌或戶籍名冊常隱含隱性循環排列（例如奇偶數門牌分布、特定透天或公寓聚落規律），容易產生周期性系統偏差（Periodic Bias）；同樣存在抽中家戶空間離散、實地訪查路線成本高的缺點。
• 分層隨機抽樣（Stratified Random Sampling）：
• 適用性評價：最適合（首選）。
• 原因分析：可依「地理空間（交通分析分區 TAZ / 行政區）」及「社經變數（家戶所得、汽機車持有數、家戶規模）」進行分層。一方面確保每個交通分區都有充足樣本以建立精確的 O-D 矩陣；另一方面因「層內同質、層間異質」，在相同樣本數下能大幅降低估計值的抽樣誤差，統計推論精準度最高。
• 集叢隨機抽樣（Cluster Random Sampling）：
• 適用性評價：實務上具有高度成本效益（適合作為多階段調查設計之基礎）。
• 原因分析：以「街廓（Census Block）」或「鄰里」為集叢，抽中者進行整區訪查。訪員集中於特定街區，大幅降低交通往返成本與訪查難度。但其缺點在於鄰里內部家戶型態通常過於同質，導致集叢效果（Design Effect, $Deff > 1$），在相同樣本數下抽樣誤差偏高，實務上通常搭配分層多階段抽樣使用。

解題技巧

1. 切入點鎖定「TAZ」與「調查成本」：運輸規劃與一般民意調查不同，家戶旅次調查的核心產出是「空間起訖矩陣（O-D Matrix）」，且傳統調查常依賴「面訪（In-person Interview）」，因此扣緊「分區樣本代表性」與「訪員調查移動成本」是拿滿分的兩大得分關鍵。
2. 作業程序要具體結構化：說明抽樣作業時，明確標出 $N$（母體數）、$n$（樣本數）、$k$（抽樣間隔）、$r$（隨機起點）等參數，並分成「界定清冊 $\rightarrow$ 編號/分類 $\rightarrow$ 隨機抽取 $\rightarrow$ 派案調查」，展現工程分析的標準作業程序（SOP）。

【完整詳解】

(一) 四種抽樣方式於家戶旅次調查之作業程序

1. 簡單隨機抽樣（Simple Random Sampling, SRS）

• 步驟一：建立母體抽樣清冊 取得規劃區域內全體家戶資料（如民政戶籍名冊或台電住宅用電戶清冊），確認母體總家戶數為 $N$ 戶。
• 步驟二：家戶唯一編號 將母體名冊中的每一戶指派唯一的流水編號，範圍為 $1$ 至 $N$。
• 步驟三：隨機抽取樣本代碼 設定所需抽樣總戶數 $n$。利用電腦虛擬亂數產生器（Pseudo-Random Number Generator）或標準亂數表，在 $1$ 到 $N$ 之間不重複抽取 $n$ 個隨機號碼。
• 步驟四：確認樣本並派案訪查

核心觀念

本題考查都市計畫分析中常見的量化預測工具——簡單線性迴歸分析（Simple Linear Regression, SLR）與普通最小平方法（Ordinary Least Squares, OLS）。核心觀念包含：

1. 母體迴歸模型與樣本迴歸線： 母體模型為 $y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i$，其中 $\alpha$ 為截距項、$\beta$ 為斜率項、$\varepsilon_i$ 為隨機誤差項。藉由樣本數據求得之估計方程式為：

2. 最小平方法（OLS）參數估計： 以最小化殘差平方和 $\sum \varepsilon_i^2 = \sum (y_i - \hat{\alpha} - \hat{\beta}x_i)^2$ 為準則，推導出正規方程式（Normal Equations），解得：

3. 殘差（Residual）之定義： 殘差 $e_i$ 定義為第 $i$ 期的實際觀測值 $y_i$ 與模式配適值（預測值）$\hat{y}_i$ 之差：

4. 趨勢預測（Forecasting）： 將目標年份 $x$ 代入求得之迴歸方程式中，外插求出對應的預測值 $\hat{y}$。

解題方法

步驟一：整理計算基礎數據表

樣本數 $n = 5$，自變數 $x_i$ 為年份，應變數 $y_i$ 為產業規模。

計算平均數：

步驟二：求取迴歸方程式之參數 $\hat{\beta}$ 與 $\hat{\alpha}$

利用題目所附之最小平方法公式計算斜率 $\hat{\beta}$：