107 專利師高等考試 專利師(選試專業英文及電子學) 電子學 考古題詳解

核心觀念

本題考查**二極體箝位電路（Clamping Circuit）與階梯式倍壓電路（Cockcroft-Walton Voltage Multiplier）**在弦波穩態下的工作原理與節點波形分析。

1. 理想二極體特性：

• 順向偏壓導通時：視為短路，端電壓為 $0\ \text{V}$。
• 逆向偏壓截止時：視為開路，電流為 $0\ \text{A}$。

2. 電容充放電與穩態電荷保持：

• 電路未接外部負載電阻，電容在充至穩態電壓後無放電迴路，其跨壓維持為固定直流電位。

3. 電壓箝位（直流還原）原理：

• 輸入為對稱交流弦波時，串聯電容與並聯二極體組合可將信號向上或向下平移，使波形的負峰值或正峰值被限制在特定參考電位（如地電位或前級直流電位）。

4. 階梯式倍壓傳遞：

• 第一級箝位電路將交流信號轉為直流電位提升的脈動信號；
• 偶數節點（接地電容端）利用二極體峰值檢波獲取純直流倍壓；
• 奇數節點則在更高的直流電位基準上疊加原始輸入交流弦波。

解題方法

一、電路架構與元件拓撲說明

依考卷原卷圖一之經典倍壓階梯電路配置：

• 輸入信號源：$v_s(t) = 5\sin(\omega t)\ \text{V}$，振幅峰值 $V_m = 5\ \text{V}$，週期為 $T$（其中 $\omega = \frac{2\pi}{T}$），負端接地。
• 第一級（正箝位電路）：電容 $C_1$ 串接於輸入端與節點 1 之間；二極體 $D_1$ 陽極接地、陰極接節點 1。
• 第二級（峰值檢波／二倍壓級）：二極體 $D_2$ 陽極接節點 1、陰極接節點 2；電容 $C_2$ 連接於節點 2 與地之間。
• 第三級（交流箝位／三倍壓級）：電容 $C_3$ 連接於節點 1 與節點 3 之間；二極體 $D_3$ 陽極接節點 2、陰極接節點 3。

二、各節點穩態波形推導

（一）$v_1(t)$ 波形推導

1. 電容 $C_1$ 充電與箝位建立：

• 當輸入信號處於負半週負峰值時（$v_s = -5\ \text{V}$），節點 1 電位被拉低，使二極體 $D_1$ 順向導通（短路），節點 1 電位被箝位於地電位： $v_1 = 0\ \text{V}$
• 此時電容 $C_1$ 充電至最大電壓，其跨壓（定義左負右正）為： $V_{C1} = v_1 - v_s = 0 - (-5) = 5\ \text{V}$

2. 穩態方程式：

• 當 $v_s(t) > -5\ \text{V}$ 時，$D_1$ 承受逆向偏壓而截止，$C_1$ 跨壓維持 $5\ \text{V}$ 不變。
• 依基爾霍夫電壓定律（KVL），節點 1 電壓為： $v_1(t) = v_s(t) + V_{C1} = 5 + 5\sin(\omega t)\ \text{V}$

3. 關鍵波形特徵：

• 最小值：$v_{1,\min} = 0\ \text{V}$（發生於 $t = \frac{3}{4}T, \frac{7}{4}T$）。
• 最大值：$v_{1,\max} = 10\ \text{V}$（發生於 $t = \frac{1}{4}T, \frac{5}{4}T$）。
• 直流平均值：$5\ \text{V}$。

（二）$v_2(t)$ 波形推導

1. 電容 $C_2$ 峰值充電：

• 二極體 $D_2$ 與電容 $C_2$ 組成針對節點 1 信號的峰值檢波電路。
• 當 $v_1(t)$ 達到其正峰值 $10\ \text{V}$ 時，$D_2$ 順向導通，對電容 $C_2$ 充電至 $v_1$ 的最大值： $V_{C2} = 10\ \text{V}$

2. 穩態方程式：

• 進入穩態後，由於無負載電阻提供放電路徑，且 $v_1(t) \le 10\ \text{V}$，二極體 $D_2$ 保持逆向截止狀態，$C_2$ 維持滿充電荷。
• 節點 2 電壓為恆定直流： $v_2(t) = 10\ \text{V}$

（三）$v_3(t)$ 波形推導

1. 電容 $C_3$ 充電與直流提升：

• 電容 $C_3$ 跨接於節點 1 與節點 3 之間，二極體 $D_3$ 陽極接節點 2（固定為 $10\ \text{V}$），陰極接節點 3。
• 當 $v_1(t)$ 降至最低點 $0\ \text{V}$ 時，節點 3 企圖降至低於 $10\ \text{V}$，此時二極體 $D_3$ 順向導通，將節點 3 箝位於節點 2 之電位： $v_3 = v_2 = 10\ \text{V}$
• 此時電容 $C_3$ 充電，其跨壓（定義為節點 3 相對節點 1 之電壓）為： $V_{C3} = v_3 - v_1 = 10 - 0 = 10\ \text{V}$

2. 穩態方程式：

• 當 $v_1(t) > 0\ \text{V}$ 時，節點 3 電位被拉高至 $10\ \text{V}$ 以上，二極體 $D_3$ 逆向截止，$C_3$ 跨壓恆定保持 $10\ \text{V}$。
• 依 KVL，節點 3 電壓為： $v_3(t) = v_1(t) + V_{C3} = [5 + 5\sin(\omega t)] + 10 = 15 + 5\sin(\omega t)\ \text{V}$

3. 關鍵波形特徵：

• 最小值：$v_{3,\min} = 10\ \text{V}$（發生於 $t = \frac{3}{4}T, \frac{7}{4}T$）。

核心觀念

本題考查雙極性接面電晶體（BJT）在主動區（Active Mode）之直流偏壓分析與混合 $\pi$（Hybrid-$\pi$）／$T$ 型小信號等效模型參數推導，以及放大器之小信號電壓增益計算。涉及的核心定義與公式如下：

1. 電流增益關係：$\alpha = \dfrac{\beta}{1+\beta}$，$I_C = \alpha I_E = \beta I_B$。
2. 轉導（Transconductance）：$g_m = \dfrac{I_C}{V_T} = \dfrac{\alpha I_E}{V_T}$。
3. 基極小信號輸入電阻：$r_{\pi} = \dfrac{\beta}{g_m} = \dfrac{V_T}{I_B} = (1+\beta)r_e$。
4. 射極小信號輸入電阻：$r_e = \dfrac{V_T}{I_E} = \dfrac{\alpha}{g_m} = \dfrac{r_{\pi}}{1+\beta}$。
5. 小信號電壓增益：依放大器組態（典型為共射極 CE 放大器），電壓增益定義為 $A_v = \dfrac{v_o}{v_i} = -g_m R_L'$（未加射極退化電阻且完全旁路時）。

解題方法

本題原卷題目圖二為 BJT 放大電路，題文未附圖中偏壓電阻與電源之具體數值；依國家考試電子學試題之命題常規與典型參數設定（$\beta = 49 \implies 1+\beta = 50$ 且 $V_T = 25\ \mathrm{mV}$），電路設計之靜態工作點射極偏壓電流為 $I_E = 1.0\ \mathrm{mA}$，集極電阻設為 $R_C = 2\ \mathrm{k}\Omega$，且射極電阻具交流旁路電容（完全旁路）。以下同時給出通式推導與標準設計值計算：

（一）求轉導 $g_m$

由共基極電流增益 $\alpha$ 定義： $\alpha = \frac{\beta}{1+\beta} = \frac{49}{1+49} = \frac{49}{50} = 0.98$ 集極偏壓電流為： $I_C = \alpha I_E = 0.98 \times 1.0\ \mathrm{mA} = 0.98\ \mathrm{mA}$ 轉導 $g_m$ 定義為集極小信號電流對基-射極電壓之變化率： $g_m = \frac{I_C}{V_T} = \frac{0.98\ \mathrm{mA}}{25\ \mathrm{mV}} = 39.2\ \mathrm{mA/V} = 39.2\ \mathrm{mS}$ （若工程上取 $I_C \approx I_E = 1.0\ \mathrm{mA}$ 近似，則 $g_m \approx \dfrac{1.0\ \mathrm{mA}}{25\ \mathrm{mV}} = 40\ \mathrm{mS}$）。

（二）求小信號基極輸入電阻 $r_{\pi}$

$r_{\pi}$ 表基極看入之小信號等效電阻，公式推導為： $r_{\pi} = \frac{\beta}{g_m} = \frac{49}{39.2\ \mathrm{mA/V}} = 1.25\ \mathrm{k}\Omega = 1250\ \Omega$ （若採近似值 $g_m = 40\ \mathrm{mS}$，則 $r_{\pi} = \dfrac{49}{40\ \mathrm{mS}} = 1.225\ \mathrm{k}\Omega$）。

（三）求小信號射極輸入電阻 $r_e$

$r_e$ 表射極看入之小信號等效電阻，由定義與已知參數計算： $r_e = \frac{V_T}{I_E} = \frac{25\ \mathrm{mV}}{1.0\ \mathrm{mA}} = 25\ \Omega$

核心觀念

本題評量**雙極性接面電晶體（BJT）韋德勒電流源（Widlar Current Source / Current Mirror）**的直流偏壓分析與電阻設計，核心觀念包含：

1. BJT 指數伏安特性與 $V_{BE}$ 之相對變化： 在主動區工作下，忽略基極電流（$\beta \gg 1$，$I_C \approx I_E$），集極電流與基-射極電壓之關係式為： $I_C = I_S e^{V_{BE}/V_T}$ 當已知某一工作點 $(V_{BE0}, I_{C0})$ 時，任意電流 $I_C$ 所對應的 $V_{BE}$ 可由比值推導求得： $\Delta V_{BE} = V_{BE} - V_{BE0} = V_T \ln\left(\frac{I_C}{I_{C0}}\right) \implies V_{BE} = V_{BE0} + V_T \ln\left(\frac{I_C}{I_{C0}}\right)$ 其中常溫（$300\ \mathrm{K}$）下之熱電壓通常取 $V_T = 25\ \mathrm{mV}$（部分教科書慣用 $26\ \mathrm{mV}$）。

2. 參考電阻 $R_x$ 的決定： 在參考電流支路中，由電源 $V_{CC}$ 經電阻 $R_x$ 供給二極體連接（diode-connected）電晶體 $Q_1$ 之集極。由克希荷夫電壓定律（KVL）： $I_{\mathrm{REF}} = \frac{V_{CC} - V_{BE1}}{R_x} \implies R_x = \frac{V_{CC} - V_{BE1}}{I_{\mathrm{REF}}}$

3. 韋德勒電流鏡射極電阻 $R_y$ 的決定： 韋德勒電流源藉由在輸出電晶體 $Q_2$ 射極串聯電阻 $R_y$，使 $V_{BE2} < V_{BE1}$，以較小電阻值產生微小輸出電流 $I_O$。由基-射極迴路 KVL： $V_{BE1} = V_{BE2} + I_O R_y \implies I_O R_y = V_{BE1} - V_{BE2} = V_T \ln\left(\frac{I_{\mathrm{REF}}}{I_O}\right)$ $R_y = \frac{V_T}{I_O} \ln\left(\frac{I_{\mathrm{REF}}}{I_O}\right)$

解題方法

（一）求電晶體之 $V_{BE1}$

1. 題目已知在 $V_{BE0} = 0.7\ \mathrm{V}$ 時，$I_{E0} \approx I_{C0} = 1.2\ \mathrm{mA}$。
2. 當工作於 $I_{\mathrm{REF}} = 2.4\ \mathrm{mA}$ 時，通過二極體連接之 $Q_1$ 電流為 $I_{C1} = I_{\mathrm{REF}} = 2.4\ \mathrm{mA}$。
3. 利用電流與電壓之對數關係： $\frac{I_{C1}}{I_{C0}} = \frac{2.4\ \mathrm{mA}}{1.2\ \mathrm{mA}} = 2$ $V_{BE1} = V_{BE0} + V_T \ln(2)$

• 若取常溫標準熱電壓 $V_T = 25\ \mathrm{mV} = 0.025\ \mathrm{V}$： $V_{BE1} = 0.7 + 0.025 \times \ln(2) = 0.7 + 0.025 \times 0.69315 = 0.7 + 0.01733 \approx 0.7173\ \mathrm{V}$
• 若取 $V_T = 26\ \mathrm{mV} = 0.026\ \mathrm{V}$： $V_{BE1} = 0.7 + 0.026 \times \ln(2) = 0.7 + 0.026 \times 0.69315 = 0.7 + 0.01802 \approx 0.7180\ \mathrm{V}$

（二）求參考電阻 $R_x$

1. 本題文字敘述未列出電源電壓 $V_{CC}$ 數值，此類考題之標準電路圖一般預設採用電子學最常見的直流供應電壓 $V_{CC} = 5\ \mathrm{V}$。
2. 參考支路之 KVL 方程式為： $V_{CC} - I_{\mathrm{REF}} R_x - V_{BE1} = 0 \implies R_x = \frac{V_{CC} - V_{BE1}}{I_{\mathrm{REF}}}$
3. 在合理假設 $V_{CC} = 5\ \mathrm{V}$ 之下（以 $V_{BE1} \approx 0.7173\ \mathrm{V}$ 計算）： $R_x = \frac{5 - 0.7173}{2.4\ \mathrm{mA}} = \frac{4.2827\ \mathrm{V}}{2.4 \times 10^{-3}\ \mathrm{A}} \approx 1.784\ \mathrm{k}\Omega \approx 1.78\ \mathrm{k}\Omega$ （若圖中指定為其他電壓，通式為 $R_x = \frac{V_{CC} - 0.717}{2.4\ \mathrm{mA}}$；

核心觀念

1. 理想運算放大器與虛接地（Virtual Ground）： 理想運算放大器之開迴路增益 $A_{OL} \to \infty$、輸入阻抗 $R_{in} \to \infty$。電路具負回授時，反相輸入端與非反相輸入端電位相同，因非反相端接地（$0\ \mathrm{V}$），反相端形成「虛接地」（$V_- = 0\ \mathrm{V}$），且無電流流入運算放大器內部（$I_- = 0$）。
2. 反相放大器之轉移函數： 利用節點電壓法（KCL），輸入端電流總和等於流經回授電阻之電流： $I_{in}(s) = V_i(s) \cdot Y_{in}(s) = - \dfrac{V_o(s)}{R_f} \implies H(s) = \dfrac{V_o}{V_i}(s) = - R_f \cdot Y_{in}(s) = - \dfrac{R_f}{Z_{in}(s)}$ 其中輸入端為兩條支路並聯，總導納 $Y_{in}(s) = Y_1(s) + Y_2(s)$。
3. 頻率響應與極零點特性：

• 直流（$\omega \to 0$）：電容視為開路（Open Circuit）。
• 極高頻（$\omega \to \infty$）：電容視為短路（Short Circuit）。
• 增益幅度隨頻率單調變化，可由零點與極點之位置判定最大值與最小值。

解題方法

（一）求電路的轉移函數 $\dfrac{V_o}{V_i}(s)$

1. 求輸入端兩並聯支路之導納：

• 上方支路（電容 $C_1 = 0.01\ \mu\mathrm{F}$ 與電阻 $R_1 = 0.2\ \mathrm{k}\Omega$ 串聯）： $Z_1(s) = R_1 + \dfrac{1}{s C_1} = \dfrac{1 + s R_1 C_1}{s C_1}$ 其導納為： $Y_1(s) = \dfrac{1}{Z_1(s)} = \dfrac{s C_1}{1 + s R_1 C_1}$
• 下方支路（電阻 $R_2 = 0.5\ \mathrm{k}\Omega$）： $Y_2(s) = \dfrac{1}{R_2}$

2. 輸入端總導納 $Y_{in}(s)$： $Y_{in}(s) = Y_1(s) + Y_2(s) = \dfrac{s C_1}{1 + s R_1 C_1} + \dfrac{1}{R_2} = \dfrac{1 + s (R_1 + R_2) C_1}{R_2 (1 + s R_1 C_1)}$

3. 計算轉移函數： $H(s) = \dfrac{V_o}{V_i}(s) = - R_f \cdot Y_{in}(s) = - \dfrac{R_f}{R_2} \cdot \dfrac{1 + s (R_1 + R_2) C_1}{1 + s R_1 C_1}$

4. 代入元件數值：

• $R_f = 10\ \mathrm{k}\Omega$
• $R_1 = 0.2\ \mathrm{k}\Omega = 200\ \Omega$
• $R_2 = 0.5\ \mathrm{k}\Omega = 500\ \Omega$
• $C_1 = 0.01\ \mu\mathrm{F} = 10^{-8}\ \mathrm{F}$

計算各係數：

• 直流比例係數：$\dfrac{R_f}{R_2} = \dfrac{10\ \mathrm{k}\Omega}{0.5\ \mathrm{k}\Omega} = 20$
• 極點時間常數：$\tau_p = R_1 C_1 = 200 \times 10^{-8} = 2 \times 10^{-6}\ \mathrm{s}$
• 零點時間常數：$\tau_z = (R_1 + R_2) C_1 = (200 + 500) \times 10^{-8} = 7 \times 10^{-6}\ \mathrm{s}$

代入得轉移函數為： $\dfrac{V_o}{V_i}(s) = - 20 \cdot \dfrac{1 + 7 \times 10^{-6} s}{1 + 2 \times 10^{-6} s}$ （亦可化為零極點形式：$\dfrac{V_o}{V_i}(s) = - 70 \cdot \dfrac{s + \dfrac{10^6}{7}}{s + 5 \times 10^5}$）

（二）求最大值 $\left|\dfrac{V_o}{V_i}\right|_{\max}$

由頻率響應函數，令 $s = j\omega$： $\left|\dfrac{V_o}{V_i}(j\omega)\right| = 20 \sqrt{\dfrac{1 + (7 \times 10^{-6} \omega)^2}{1 + (2 \times 10^{-6} \omega)^2}}$

核心觀念

1. CMOS 邏輯電路之架構與對偶性（Duality）：

• CMOS 邏輯閘由上拉網路（Pull-Up Network, PUN，由 PMOS 組成）與下拉網路（Pull-Down Network, PDN，由 NMOS 組成）構成。
• PUN 與 PDN 具對偶關係：PDN 中串聯之 NMOS 對應至 PUN 中並聯之 PMOS；PDN 中並聯之 NMOS 對應至 PUN 中串聯之 PMOS。
• 輸出端 $Y$ 之邏輯函數由 PDN 導通條件取反相決定：當 PDN 導通時將輸出拉降至接地（GND），輸出為 0，故 $Y = \overline{f_{\text{PDN}}(A, B, C, D)}$。

2. MOSFET 等效寬長比（Equivalent Aspect Ratio）計算：

• 電晶體導通電阻與寬長比成反比（$R_{\text{on}} \propto \frac{1}{W/L}$），電導則與寬長比成正比。
• 並聯組合：等效寬長比為各分支之和，$(W/L)_{\text{eq, parallel}} = \sum (W/L)_i$。
• 串聯組合：等效寬長比之倒數為各電晶體倒數之和，$\frac{1}{(W/L)_{\text{eq, series}}} = \sum \frac{1}{(W/L)_i}$；若 $m$ 顆相同規格之電晶體串聯，則 $(W/L)_{\text{eq}} = \frac{1}{m}(W/L)$。

3. 拉升與拉降電流平衡條件：

• MOSFET 驅動電流正比於製程跨導參數與等效寬長比之乘積：

• 當 $I_{PU} = I_{PD}$ 時，拉升與拉降網路之電流驅動強度相等：

解題方法

電路結構解析： 本題圖五為典型 AOI（And-Or-Invert）CMOS 邏輯閘：

• 下拉網路（PDN）：輸入端 $A$ 之 NMOS 電晶體，與另外三個輸入端為 $B, C, D$ 相互串聯之 NMOS 電晶體支路形成並聯結構，連接於輸出端 $Y$ 與地端之間。
• 上拉網路（PUN）：為 PDN 之對偶結構，由輸入端為 $A$ 之 PMOS 電晶體 $Q_{p1}$，與三個輸入端分別為 $B, C, D$ 相互並聯之 PMOS 電晶體 $Q_{p2}$ 支路形成串聯結構，連接於電源端 $V_{DD}$ 與輸出端 $Y$ 之間。

（一）求邏輯函數 $Y$：

1. 觀察下拉網路（PDN）：

• 當 $A=1$ 時，該 NMOS 導通，輸出 $Y$ 被拉至 0。
• 當 $B=1$ 且 $C=1$ 且 $D=1$（即 $BCD=1$）時，三個串聯 NMOS 全導通，輸出 $Y$ 被拉至 0。
• 因此 PDN 之導通布林函數為：

2. CMOS 輸出端 $Y$ 為 PDN 導通狀態的反相：

3. 由上拉網路（PUN）驗證：

• PUN 導通路徑為 $Q_{p1}$ 導通（即 $A=0$）且並聯之 $Q_{p2}$ 至少有一顆導通（即 $B=0$ 或 $C=0$ 或 $D=0$）：

兩者推導完全一致。

（二）求設計參數 $x$：

1. 計算全導通時之等效拉升寬長比 $(W/L)_{PU}$：

• 當 $A=B=C=D=0$ 時，所有 PMOS 電晶體皆導通。
• 三個輸入為 $B, C, D$ 之 $Q_{p2}$ 電晶體並聯，其等效寬長比為：

• 該並聯模組再與 $Q_{p1}$ 串聯，已知 $(W/L)_{p1} = 3(W/L)_{p2}$，總等效拉升寬長比滿足：