107 國營臺灣鐵路公司不分職等 營運員-機械 台鐵營運人員 營運員(機械) (基本電學概要) 考古題詳解

核心觀念

本題考查「電流」與「電量」的關係。電流是單位時間內通過導體截面的電量；在電流固定時：

其中 $Q$ 為電量、$I$ 為電流、$t$ 為時間。因此，電流乘以時間，就是電量。

$\mathrm{Ah}$ 稱為「安培小時」，簡稱「安時」，是電量的單位；電量的國際單位則為庫侖（$\mathrm{C}$）。

解題方法

將單位拆開判斷：$\mathrm{A}$ 是電流單位安培，$\mathrm{h}$ 是時間單位小時，因此：

包裝上的 $\mathrm{m}$ 表示「毫」，即 $10^{-3}$，故：

所以，標示的數值代表電池的電量容量。

選項分析

核心觀念

本題考查國際單位制（SI）的工程倍數詞頭（Metric Prefixes）。 在基本電學與電工原理中，電學元件的物理量常呈現極大或極小的數值（如電阻常以 $\text{k}\Omega$、$\text{M}\Omega$ 表示；電容常以 $\mu\text{F}$、$\text{nF}$、$\text{pF}$ 表示）。為求簡潔，國際度量衡大會規範以 $10^3$ 或 $10^{-3}$ 為倍率階梯的十進位詞頭符號來代換龐大或微小的數字。

解題方法

根據工程常用因數倍率之符號定義： $10^{-9} = \frac{1}{10^9} = \frac{1}{1,000,000,000} \text{（十億分之一）}$

此數量級在國際單位制中定義為 nano（中譯「奈」或「毫微」），其國際標準簡寫符號為小寫字母「$\text{n}$」。

選項分析

• (A) G：錯誤。$\text{G}$ 為 Giga（吉），代表 $10^9$（十億倍），是指數為正數的大數單位。
• (B) n：正確。$\text{n}$ 為 nano（奈），代表 $10^{-9}$（十億分之一）。
• (C) k：錯誤。$\text{k}$ 為 kilo（千），代表 $10^3$（一千倍）。
• (D) $\mu$：錯誤。$\mu$ 為 micro（微），代表 $10^{-6}$（百萬分之一）。

解題技巧

1. 三次方階距速記法： 電學中最常考的工程詞頭均以 $10^3$（三次方）為一級跳躍，應整組對稱記憶：

核心觀念

本題考查電學中各項物理量的因次與單位定義，特別是區分「電量（電荷量）」、「電能（電功）」與「力學功／力矩」之單位：

1. 電量（$Q$）：電流與時間的乘積，$Q = I \times t$，基本單位為庫侖（$\text{C}$），導出單位為安培－秒（$\text{A}\cdot\text{s}$）。
2. 電能／電功（$W$）：電荷通過電位差所作的功，$W = Q \times V$。

• 國際單位制（SI）標準單位為焦耳（$\text{J}$）​或瓦特－秒（$\text{W}\cdot\text{s}$）。
• 在微觀物理及電子學中，常以電子伏特（$\text{eV}$）​作為能量（電能）之計量單位。

3. 力學功（$W$）：力與位移的內積，$W = F \times S$，其導出單位為牛頓－公尺（$\text{N}\cdot\text{m}$），屬力學單位；亦可作為力矩（$\tau = r \times F$）之單位。

解題方法

判斷此類單位題目，應從定義公式切入分析各選項之物理因次：

1. 先排除屬於「電量」因次的單位（如電流 $\times$ 時間）。
2. 再區分「力學單位」與「電學能量單位」：

• 尋找符合「電荷 $\times$ 電壓」因次，或電學專屬定義的能量單位。
• 一個帶電量為 $e$ 的電子通過 $1\text{ V}$ 的電位差時，所獲得或消耗的動能即定義為 $1\text{ eV}$，確為電能單位。

選項分析

• (A) 錯誤： 安培－秒（$\text{A}\cdot\text{s}$）由公式 $Q = I \times t$ 得知，為電流強度與時間的乘積，此為電量（電荷量）​之導出單位，等價於庫侖（$\text{C}$），非電能單位。
• (B) 錯誤： 庫侖（$\text{C}$）為國際單位制中電量的專屬單位，代表電荷的多寡，非電能單位。
• (C) 錯誤： 牛頓－公尺（$\text{N}\cdot\text{m}$）為力學中力（$\text{N}$）與距離（$\text{m}$）的乘積（$W = F \times S$），屬於機械功之導出單位（量值上等同於焦耳 $\text{J}$），或作為力矩（$\tau$）之單位，並非電學範疇特有的電能單位。
• (D) 正確： 電子伏特（$\text{eV}$，Electron-Volt）為微觀電學中常用的電能單位。

核心觀念

本題測驗「四環色碼電阻」（Color Code Resistor）之數值與顏色對應判讀規則。

四環電阻的各色環定義如下：

1. 第一環：電阻值之第一位有效數字。
2. 第二環：電阻值之第二位有效數字。
3. 第三環：倍率（即 $10^n$ 中的乘幕次方數 $n$，亦即有效數字後方補「零」的個數）。
4. 第四環：誤差範圍（Tolerance）。

色碼與數值對照表（口訣：黑 0 棕 1 紅 2 橙 3 黃 4 綠 5 藍 6 紫 7 灰 8 白 9）：

• 黑：$0$（乘數 $10^0$）
• 棕：$1$（乘數 $10^1$，誤差 $\pm 1\%$）
• 紅：$2$（乘數 $10^2$，誤差 $\pm 2\%$）
• 橙：$3$（乘數 $10^3$）
• 黃：$4$（乘數 $10^4$）
• 綠：$5$（乘數 $10^5$，誤差 $\pm 0.5\%$）
• 藍：$6$（乘數 $10^6$）
• 紫：$7$（乘數 $10^7$）
• 灰：$8$（乘數 $10^8$）
• 白：$9$（乘數 $10^9$）
• 金：乘數 $10^{-1}$，誤差 $\pm 5\%$
• 銀：乘數 $10^{-2}$，誤差 $\pm 10\%$
• 無色：誤差 $\pm 20\%$

解題方法

將題目給定之電阻值 $110\pm5\%\ \Omega$ 拆解為「前兩位有效數字 $\times$ 倍率 $\pm$ 誤差」：

$R = 11 \times 10^1\ \Omega \pm 5\%$

逐環進行顏色對應：

1. 第一環（第一位有效數字）：數值為 $1$，對應顏色為 棕。
2. 第二環（第二位有效數字）：數值為 $1$，對應顏色為 棕。
3. 第三環（乘數次數 $10^1$）：指數為 $1$（即補 1 個零），對應顏色為 棕。
4. 第四環（誤差範圍）：誤差為 $\pm 5\%$，對應顏色為 金。

綜合上述，色碼順序為：棕、棕、棕、金。

選項分析

• (A) 黑黑黑金：
• 第一環通常不為黑（首位數字不為 0）；若依數值換算為 $00 \times 10^0\ \Omega = 0\ \Omega\pm 5\%$，與題意 $110\ \Omega$ 不符，故錯誤。
• (B) 黑棕黑金：
• 第一位數不為 0；

核心觀念

等效電阻取決於電阻的數值及其串、並聯連接方式。串聯電阻以 $R_{\text{eq}}=R_1+R_2+\cdots$ 計算；並聯電阻以 $\frac{1}{R_{\text{eq}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\cdots$ 計算。

解題方法

目前附上的掃描圖是試題封面與作答注意事項，沒有第 5 題的電路圖【圖 1】；缺少電阻數值與接點配置，無法列式求出等效電阻。

選項分析

(A) $1\ \Omega$：缺少電路圖，無法判定。 (B) $2\ \Omega$：缺少電路圖，無法判定。 (C) $3\ \Omega$：缺少電路圖，無法判定。

核心觀念

本題評量直流或交流電機中的效率與功率損失，以及日常用電中電能量（度數）與電費之基本換算。涉及的核心公式如下：

1. 效率與損失功率之關係： $\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} \times 100\%$ $P_{\text{loss}} = P_{\text{in}} - P_{\text{out}} = P_{\text{in}} \times (1 - \eta)$ 其中 $P_{\text{in}}$ 為輸入功率、$P_{\text{out}}$ 為輸出功率、$P_{\text{loss}}$ 為內部各項損耗（銅損、鐵損、機械損等）之總損失功率。

2. 電能（度數）之定義： $1\ \text{度} = 1\ \text{千瓦小時} = 1\ \text{kW}\cdot\text{h} = 1000\ \text{W}\cdot\text{h}$ 消耗之度數 $E$ 為： $E = \frac{P\ (\text{W}) \times t\ (\text{h})}{1000}$

3. 電費計算： $\text{費用（元）} = E\ (\text{度}) \times \text{每度單價（元/度）}$

解題方法

題目要求計算「電力損失所浪費的電費」，解題關鍵在於先求出損失功率，再依使用時間換算為損失度數，最後乘上每度電費費率。

步驟一：計算電力損失功率 $P_{\text{loss}}$ 由效率定義可知，損失功率佔總輸入功率的比例為 $(1 - \eta)$： $P_{\text{loss}} = P_{\text{in}} \times (1 - \eta) = 1500 \times (1 - 80\%) = 1500 \times 0.2 = 300\ \text{W} = 0.3\ \text{kW}$

步驟二：計算使用 10 小時所損失的電能（度數） $W_{\text{loss}} = P_{\text{loss}} \times t = 0.3\ \text{kW} \times 10\ \text{h} = 3\ \text{kW}\cdot\text{h} = 3\ \text{度}$

步驟三：計算損失所浪費的電費 $\text{浪費電費} = 3\ \text{度} \times 4\ \text{元/度} = 12\ \text{元}$

選項分析

• (A) 正確：損失功率為 $300\ \text{W}$，運轉 10 小時共損失 $3\ \text{度}$ 電，依每度 4 元計算，浪費電費為 $12$ 元。
• (B) 錯誤：數值為常見計算錯誤之干擾選項；若誤算有效輸出做功之電費，應為 $1.2\ \text{kW} \times 10\ \text{h} \times 4\ \text{元/度} = 48\ \text{元}$，亦非 50 元。

核心觀念

均勻導體的電阻為

其中，$\rho$ 為電阻率、$L$ 為導體長度、$S$ 為截面積。同材料在相同溫度下，電阻率相同，因此：

• 電阻與長度成正比：越長，電阻越大。
• 電阻與截面積成反比：越粗，電阻越小。

解題方法

本題採用「電阻比值法」，可消去相同的電阻率，不必知道導體的實際尺寸。

依題意：

因此，兩導體的電阻比為

可知導體 B 的電阻為導體 A 的 $4$ 倍：

選項分析

• (A) $10\ \Omega$：錯誤。 此數值僅為 A 電阻的 $2$ 倍，只計入長度或截面積其中一項造成的倍率，漏掉另一項。
• **(B) $20\ \Omega$：正確。

核心觀念

求 $V_1$ 必須知道圖 2 的電路連接方式、元件數值、電源大小與極性，才能套用歐姆定律及克希荷夫定律等電路分析方法。

解題方法

目前附上的掃描圖是試題封面與作答注意事項，沒有第 8 題或圖 2。因此缺少電路資訊，無法列式計算 $V_1$。

選項分析

核心觀念

此題考交流串聯電阻—電感電路的相量關係。電阻兩端電壓 $V_R$ 與電感兩端電壓 $V_L$ 相位相差 $90^\circ$，因此電源電壓 $E$ 是兩者的相量合成，滿足直角三角形關係：

所附掃描頁未含題目所指的【圖 3】；以下依題幹採用串聯電阻—電感電路解答。

解題方法

由相量關係求 $V_L$：

不能直接用 $E-V_R$，因為交流電路中 $E$、$V_R$、$V_L$ 是相量，且 $V_R$ 與 $V_L$ 互相垂直。

選項分析

核心觀念

1. 電容器儲能公式： 電容器極板間建立電場時，所儲存的靜電能量 $W$（單位為焦耳，$\text{J}$）可由下列三種等價形式表示： $W = \frac{1}{2} Q V = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{Q^2}{2C}$ 其中：

• $Q$ 為極板所儲存的電荷量（庫侖，$\text{C}$）
• $C$ 為電容量（法拉，$\text{F}$）
• $V$ 為電容器兩端的端電壓（伏特，$\text{V}$）

2. 單位換算：

• $1\ \mu\text{F} = 10^{-6}\ \text{F}$

解題方法

題目已知：

• 電容量 $C = 5\ \mu\text{F} = 5 \times 10^{-6}\ \text{F}$
• 電荷量 $Q = 20\ \text{C}$

因已知條件為 $Q$ 與 $C$，選用不需先求電壓 $V$ 的能量公式 $W = \dfrac{Q^2}{2C}$ 進行計算最為直接：

$W = \frac{Q^2}{2C} = \frac{20^2}{2 \times (5 \times 10^{-6})}$

化簡分母與分子： $W = \frac{400}{10 \times 10^{-6}} = \frac{400}{10^{-5}} = 400 \times 10^5\ \text{焦耳}$

配合選項所使用的 $10^6$ 科學記號形式調整表示法： $W = 40 \times 10^6\ \text{焦耳}$

選項分析

• (A) 錯誤：計算結果為 $40\times10^6$ 焦耳，此選項數值不符。
• (B) 正確：完全符合公式 $W = \dfrac{Q^2}{2C} = \dfrac{20^2}{2 \times 5 \times 10^{-6}} = 40\times10^6$ 焦耳之計算結果。
• (C) 錯誤：數值為 $80\times10^6$ 焦耳。

核心觀念

電路電流須依電路圖中的元件連接方式、電壓源與電阻等資料，運用歐姆定律 $V=IR$、克希荷夫電流定律或電壓定律求得。題目所需的【圖 4】在目前提供的掃描圖中呈現空白，沒有可辨識的電路資訊。

解題方法

缺少電路圖，無法確認電源電壓、電阻值及元件的串並聯關係，因此無法列出方程式求出 $I$。合理且不添加題外條件的處理方式，是先補上清晰的【圖 4】；依目前資料不能選定電流數值。

選項分析

• (A) $10\ \text{A}$： 缺少電路資料，無法驗證。
• (B) $8\ \text{A}$： 缺少電路資料，無法驗證。
• (C) $6\ \text{A}$： 缺少電路資料，無法驗證。

核心觀念

求電路電流通常需依電路拓樸與元件數值，使用歐姆定律 $V=IR$，並視情況搭配克希荷夫電流定律或電壓定律。

解題方法

附上的圖 5 顯示為全白，沒有可辨識的電源、元件、接線或電流方向。缺少這些電路資訊，就無法列出方程式或計算 $I$，也不能從選項反推出電路內容。

選項分析

• (A) $\frac{4}{3}\ \text{A}$：缺少電路資料，無法判定。
• (B) $2\ \text{A}$：缺少電路資料，無法判定。

核心觀念

本題旨在測驗電路學中四種最基礎且核心的分析方法與等效定理之定義：

1. 節點電壓法（Node Voltage Method）：以節點對參考點（接地點）的電位作為未知變數，依據克希荷夫電流定律（KCL, $\sum I = 0$）​列出各獨立節點的電流代數和方程式。
2. 迴路／網目電流法（Mesh/Loop Current Method）：以封閉路徑內的網目電流作為未知變數，依據克希荷夫電壓定律（KVL, $\sum V = 0$）​列出各封閉迴路的電壓降代數和方程式。
3. 戴維寧定理（Thevenin's Theorem）：任何包含獨立源、受控源及線性電阻的雙端線性網路，對外均可等效為一個等效電壓源（$E_{th}$）與等效電阻（$R_{th}$）之「串聯」​電路。
4. 諾頓定理（Norton's Theorem）：任何線性雙端網路對外均可等效為一個等效電流源（$I_N$）與等效電阻（$R_N$）之「並聯」​電路。

解題方法

檢視題目所列之四種電路分析工具與等效模型，逐一比對其理論基礎與電路拓撲（串聯或並聯）：

• 確認「節點法」與「迴路法」所對應之基本電路定律（KCL vs. KVL）。
• 確認「戴維寧」與「諾頓」等效電路中，電源型態與等效內阻的連接關係（串聯 vs. 並聯）。

選項分析

• (A) 正確：節點電壓法是以電路中各節點電位為求解目標，針對各獨立節點應用克希荷夫電流定律（KCL，流進節點電流總和等於流出節點電流總和）列寫節點方程式。
• (B) 正確：迴路電流法是以假想的迴路（或網目）電流為變數，沿著封閉迴路繞行並應用克希荷夫電壓定律（KVL，沿封閉路徑之電位升總和等於電位降總和）列寫迴路方程式。
• (C) 錯誤：依據戴維寧定理，等效電路是由戴維寧等效電壓源 $E_{th}$（開路電壓 $V_{oc}$）與等效電阻 $R_{th}$「串聯」組成，而非並聯。故本選項敘述錯誤，符合題目所求。
• (D) 正確：依據諾頓定理，等效電路是由諾頓等效電流源 $I_N$（短路電流 $I_{sc}$）與等效電阻 $R_N$「並聯」組成。

解題技巧

核心觀念

電容器依照結構與介電質特性，主要可區分為「有極性電容器」與「無極性電容器」兩大類：

1. 有極性電容器：引腳有正、負極之分，在直流電路中使用時，正極必須接高電位、負極接低電位。若極性反接，介質層會遭受電化學破壞，導致漏電流劇增、內部迅速發熱膨脹，甚至引發電容爆裂。常見代表為鋁電解電容器與鉭質電容器。
2. 無極性電容器：結構呈對稱分布，兩端引腳無正負極性區別，可隨意接入直流或交流電路中。常見材質有陶瓷（陶質）、雲母、紙質及塑膠薄膜（如麥拉電容）​等。

解題方法

本題為基本電學之基礎元件分類題，解題切入點在於判斷各選項電容器之「介電質形成原理與構造」：

電解電容器是利用金屬（如鋁、鉭）表面經過電化學氧化後形成的「超薄金屬氧化膜」作為絕緣介電質。這層氧化膜具備單向絕緣特性（如同二極體的單向導電屏障），僅在施加正確方向的直流偏壓時維持絕緣性；其餘選項（陶瓷、紙質、雲母）皆採用整體純固態對稱絕緣材料作為介電質，無電化學單向性限制，因此不具備極性。

選項分析

• (A) 正確：電解質電容器（Electrolytic Capacitor）。其陽極為金屬鋁箔，表面生成極薄之氧化鋁（$\text{Al}_2\text{O}_3$）絕緣層，電容量大，但具有嚴格的正負極性。使用時不可反接或使用於純交流電路。
• (B) 錯誤：陶瓷電容器（Ceramic Capacitor）。以陶瓷原料為介電質，兩面被覆銀層作為電極，為無極性電容器，耐溫及高頻特性優良，廣泛應用於高頻電路與旁路（Bypass）濾波。
• (C) 錯誤：紙質電容器（Paper Capacitor）。

核心觀念

本題考查電容器之儲能公式與公制單位換算：

1. 電容器儲存之電場能量公式： 當電容量為 $C$ 的電容器兩端施加電壓 $V$ 時，其內部所儲存的靜電能（能量）$W$ 可表示為： $W = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} Q V = \frac{Q^2}{2C}$ 其中：

• $W$ 為能量，單位為焦耳（$\text{J}$）
• $C$ 為電容量，單位為法拉（$\text{F}$）
• $V$ 為電容器兩端電壓，單位為伏特（$\text{V}$）
• $Q$ 為儲存電荷量，單位為庫侖（$\text{C}$）

2. 微（$\mu$）之次方換算： $1\ \mu\text{F} = 10^{-6}\ \text{F}$。

解題方法

1. 整理題目已知條件：

• 電容量 $C = 100\ \mu\text{F} = 100 \times 10^{-6}\ \text{F} = 10^{-4}\ \text{F}$
• 直流電壓 $V = 100\ \text{V}$

2. 選用公式並代入計算： 題目已知 $C$ 與 $V$，欲求儲能 $W$，直接選用 $W = \frac{1}{2}CV^2$： $W = \frac{1}{2} \times (100 \times 10^{-6}\ \text{F}) \times (100\ \text{V})^2$ $W = \frac{1}{2} \times 10^{-4} \times 10^4\ \text{J}$ $W = \frac{1}{2} \times 1 = 0.5\ \text{J（焦耳）}$

選項分析

• (A) 0.5 焦耳：正確。依公式 $W = \frac{1}{2}CV^2$ 正確計算，所得數值即為 $0.5\ \text{焦耳}$。
• (B) 1 焦耳：錯誤。此為考生「漏乘係數 $\frac{1}{2}$」時所算出的典型陷阱值（$W = CV^2 = 10^{-4} \times 10^4 = 1\ \text{焦耳}$）。
• (C) 1.25 焦耳：錯誤。數值與計算推導不符，純屬干擾選項。
• (D) 12.5 焦耳：錯誤。

核心觀念

本題考的是「動生感應電勢」：導線在磁場中移動時，內部電荷受到磁力作用而分離，使導線兩端產生電位差。

當導線軸向、移動方向與磁場方向三者互相垂直時，感應電勢大小為：

其中 $B$ 為磁場密度、$\ell$ 為導線長度、$v$ 為移動速率，且：

題目未明示導線軸向與磁場的夾角，依命題採用的標準切割磁場配置，取導線軸向亦垂直磁場。

解題方法

導線中的電荷隨導線運動，受到磁力 $qvB$，使正、負電荷向兩端分離。當電荷分離所形成的電場力與磁力平衡時：

因此，導線兩端的感應電勢為：

將題目數據代入：

得到：

選項分析

• (A) $0.5\ \mathrm{V}$：錯誤。 此數值為正確值的一半；本題的標準垂直配置不需乘上 $\frac12$。
• (B) $1\ \mathrm{V}$：正確。 由 $\varepsilon=B\ell v=0.1\times1\times10$，得到 $1\ \mathrm{V}$。

核心觀念

本題考查空心／鐵心線圈自感（電感量）與線圈匝數的比例關係。

線圈的自感量公式為： $L = \frac{N^2 \mu A}{\ell} = \frac{N^2}{\mathcal{R}_m}$

其中各物理量定義如下：

• $L$：線圈電感量（單位：亨利，$\text{H}$）
• $N$：線圈匝數（單位：匝，$\text{turns}$）
• $\mu$：磁導率（單位：$\text{H/m}$）
• $A$：磁路截面積（單位：$\text{m}^2$）
• $\ell$：磁路平均長度（單位：$\text{m}$）
• $\mathcal{R}_m = \frac{\ell}{\mu A}$：磁阻（單位：$\text{A}\cdot\text{t/Wb}$）

在線圈外觀尺寸（截面積 $A$、長度 $\ell$）及磁芯材質（磁導率 $\mu$）均保持不變的條件下，電感量 $L$ 與線圈匝數的平方 $N^2$ 成正比： $L \propto N^2$

解題方法

本題採用比例分析法求解。

1. 建立比例關係式： 設原線圈匝數為 $N_1$、電感量為 $L_1$；改變後的匝數為 $N_2$、電感量為 $L_2$。 由 $L \propto N^2$，可列出關係式： $\frac{L_2}{L_1} = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2 \implies \frac{N_2}{N_1} = \sqrt{\frac{L_2}{L_1}}$

2. 代入已知數值推導：

• 初態：$N_1 = 1200\ \text{匝}$，$L_1 = 20\ \text{H}$
• 末態：$L_2 = 5\ \text{H}$

$\frac{N_2}{1200} = \sqrt{\frac{5}{20}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

3. 計算末態匝數： $N_2 = 1200 \times \frac{1}{2} = 600\ \text{匝}$

故匝數應減為 $600\ \text{匝}$。

選項分析

• (A) 200 匝：錯誤。若匝數減為 $200\ \text{匝}$，匝數變為原來的 $\frac{200}{1200} = \frac{1}{6}$，其電感量會變為原來的 $\left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36}$，即 $L_2 = 20 \times \frac{1}{36} \approx 0.56\ \text{H}$，不符合題目要求的 $5\ \text{H}$。
• (B) 300 匝：錯誤。此為常見的陷阱選項，誤將電感量當成與匝數「一次方成正比」（$L \propto N$）進行計算：$1200 \times \frac{5}{20} = 300\ \text{匝}$。電感量必須與匝數「平方」成正比。
• (C) 600 匝：正確。由 $N_2 = 1200 \times \sqrt{\frac{5}{20}} = 600\ \text{匝}$，計算結果完全符合題意。
• (D) 1000 匝：錯誤。

核心觀念

本題考查 RC 串聯電路的直流充電暫態特性。

當未儲能的 RC 串聯電路接通直流電源 $E$ 時，各電氣量隨時間 $t$ 呈指數規律變化（其中時間常數 $\tau = RC$）：

1. 電容電壓（連續性原理）：電容器兩端電壓不可瞬間突變，初始電壓為 $v_C(0^+) = v_C(0^-) = 0\text{ V}$。充電期間電壓隨時間增加： $v_C(t) = E\left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$
2. 充電電流： $i(t) = \frac{E}{R}e^{-\frac{t}{\tau}}$
3. 電阻壓降（克希荷夫電壓定律 KVL）：$v_R(t) = E - v_C(t) = i(t)R$： $v_R(t) = E e^{-\frac{t}{\tau}}$

解題方法

分析 RC 直流暫態最直接有效的方式為「初態（$t=0^+$）」與「穩態（$t \to \infty$）」的極限值比較：

1. 充電初態（$t = 0^+$）：

• 電容器因尚未建立電荷，兩端電壓 $v_C(0^+) = 0\text{ V}$，特性等效於短路。
• 電源電壓全部落在電阻兩端，電阻壓降達到最大值：$v_R(0^+) = E$。
• 電路電流達到最大值：$i(0^+) = \frac{E}{R}$。

2. 充電穩態（$t \to \infty$）：

• 電容器充飽電，兩端電壓達到電源電壓：$v_C(\infty) = E$。
• 電容器等效於開路，電路中不再有電流流動：$i(\infty) = 0\text{ A}$。
• 電阻無電流通過，電阻壓降降為零：$v_R(\infty) = 0\text{ V}$。

3. 變化趨勢結論：

• 電路電流 $i(t)$：由大（$\frac{E}{R}$）至小（$0$）變化。
• 電阻壓降 $v_R(t)$：由大（$E$）至小（$0$）變化。
• 電容壓降 $v_C(t)$：由小（$0$）至大（$E$）變化。

選項分析

• (A) 錯誤：電路電流在接通瞬間最大（$I_{\max} = \frac{E}{R}$），隨後隨時間呈指數衰減至零，因此應為「由大至小」變化。
• (B) 錯誤：在充電初期（$t=0^+$），電容壓降為零，但此時電容器兩端呈現「短路」現象；

核心觀念

本題考查交流發電機之極數、電氣頻率與同步轉速之間的數學關係。

交流發電機每轉過一對磁極（即 1 個 N 極與 1 個 S 極，共 2 個磁極），導體感應電勢即完成一個完整週期的交流電（$360^\circ$ 電氣角）。 設電機之極數為 $P$、轉速為 $N$（單位為 $\text{rpm}$，每分鐘轉數），則發電機輸出的電氣頻率 $f$（單位為 $\text{Hz}$）關係式為： $f = \frac{P \times N}{120}$

將上式移項，即可推導出發電機轉速 $N$ 的計算公式： $N = \frac{120f}{P}$

解題方法

1. 列出已知條件：

• 頻率 $f = 60\text{ Hz}$
• 極數 $P = 15$

2. 代入轉速公式計算： $N = \frac{120 \times f}{P} = \frac{120 \times 60}{15}$

3. 化簡求值： 先將分子之 $120$ 與分母之 $15$ 約分： $\frac{120}{15} = 8$ 再代入乘算： $N = 8 \times 60 = 480\text{ rpm}$

選項分析

• (A) 錯誤：$120\text{ rpm}$。若轉速為 $120\text{ rpm}$，對應之極數為 $P = \frac{120 \times 60}{120} = 60$ 極，與題意不符。
• (B) 錯誤：$240\text{ rpm}$。此為常見的陷阱干擾項。若考生誤將題目給定的「$15$ 極」當作「$15$ 對極」（即 $p = 15$、$P = 30$ 極），會算出 $N = \frac{120 \times 60}{30} = 240\text{ rpm}$。
• (C) 錯誤：$360\text{ rpm}$。若轉速為 $360\text{ rpm}$，對應之極數為 $P = \frac{120 \times 60}{360} = 20$ 極，與題意不符。
• (D) 正確：$480\text{ rpm}$。

核心觀念

本題考查的是克希荷夫電壓定律（Kirchhoff's Voltage Law, 簡稱 KVL）的基本定義與物理本質。

1. 物理基礎：KVL 是能量守恆定律在電路學中的具體呈現。在靜電場中，將單位正電荷沿著封閉迴路移動一周，電場力所做的淨功為零，意味著起點與終點的電位相同，繞行一周的淨電位變化量必為零。
2. 數學形式：在任一封閉迴路中，沿特定繞行方向（順時針或逆時針）：

• 所有元件的「電壓代數和」為零： $\sum V = 0$
• 若將「電壓升（Potential Rise）」視為正值（$+V$）、「電壓降（Potential Drop）」視為負值（$-V$），則全迴路中電壓升與電壓降之和必恆等於零： $\sum V_{\text{升}} + \sum V_{\text{降}} = 0 \quad \left(\text{亦即 } \sum V_{\text{升}} = \sum |V_{\text{降}}|\right)$

解題方法

依據克希荷夫電壓定律（KVL）之敘述： 「在電路的任何一個封閉迴路中，繞行一周的各元件端電壓之代數和等於零。」

在電路分析時：

1. 選定一閉合路徑與繞行方向。
2. 當路徑由低電位指向高電位時，稱為電壓升（符號取正）；由高電位指向低電位時，稱為電壓降（符號取負）。
3. 因繞行一周回到同一節點，其電位保持不變，故所有電壓升與電壓降相加（代數和）必定完全相互抵消，總和必為 $0$。

選項分析

• (A) 正確：克希荷夫電壓定律表明，封閉迴路內所有電壓升與電壓降的代數和恆等於 $0$。
• (B) 錯誤：數值 $1$ 並無任何物理與電路學依據，迴路電位變化量不會固定為 $1$。

核心觀念

本題考查「電路定理的等效形式」及「電路分析法所依據的定律」，重點如下：

• 重疊定理：線性電路中，各獨立電源分別作用所產生的電壓、電流，可依方向作代數相加。單獨保留一個獨立電源時，其餘獨立電壓源以短路取代，獨立電流源以開路取代。
• 戴維寧定理：線性雙端網路可等效為「一個電壓源 $V_{\mathrm{Th}}$ 與一個電阻 $R_{\mathrm{Th}}$ 串聯」。
• 諾頓定理：線性雙端網路可等效為「一個電流源 $I_{\mathrm{N}}$ 與一個電阻 $R_{\mathrm{N}}$ 並聯」。
• 節點電壓法與迴路分析法：分別以克希荷夫電流定律、克希荷夫電壓定律建立方程式。

解題方法

本題不需計算，直接核對各定理的名稱與內容。辨認等效電路時，須同時確認「電源種類」及「串、並聯方式」：

選項（B）將諾頓等效電路寫成戴維寧等效電路，因此是錯誤敘述。

選項分析

（A）正確。 應用重疊定理時，不作用的理想獨立電壓源須設為 $0\text{ V}$。其兩端電位差為零，等效為短路。若電源另有串聯內阻，該內阻仍須保留；受控電源也不可任意移除。

（B）錯誤。 「等效電流源與等效電阻並聯」屬於諾頓定理。戴維寧定理的正確形式是「等效電壓源與等效電阻串聯」。兩種等效電路可相互轉換，其關係為：

核心觀念

1. 戴維寧等效定理（Thévenin's Theorem）： 任何含有獨立電源、線性相依電源及線性電阻的單埠（二端點）線性網路，對外而言，均可簡化為一個理想等效電壓源 $E_{th}$（開路電壓 $V_{oc}$）與一個等效電阻 $R_{th}$ 的串聯組合。
2. 諾頓等效定理（Norton's Theorem）： 任何二端點線性網路，對外而言，亦可簡化為一個理想等效電流源 $I_N$（短路電流 $I_{sc}$）與一個等效電阻 $R_N$ 的並聯組合。
3. 線性限制（Linearity Requirement）： 戴維寧定理與諾頓定理的理論基礎為重疊定理（Superposition Theorem），因此被簡化的網路內部必須為線性網路（Linear Network），不可含有二極體、電晶體等非線性元件（但連接於等效電路外部的負載可以是任意元件）。
4. 等效互換關係（電源轉換，Source Transformation）： 戴維寧等效電路與諾頓等效電路彼此互為對偶（Dual），且兩者可以完全相互轉換： $R_N = R_{th} = \frac{V_{oc}}{I_{sc}}$ $E_{th} = I_N \times R_{th} \quad \Longleftrightarrow \quad I_N = \frac{E_{th}}{R_{th}}$

解題方法

本題屬於基本電學之理論觀念題，解題切入點在於檢驗「戴維寧定理」與「諾頓定理」的適用條件以及兩者之間的轉換關係：

1. 等效電阻：檢驗戴維寧等效電阻 $R_{th}$ 與諾頓等效電阻 $R_N$ 的定義與數值關係。
2. 線性條件：依據重疊定理的適用前提，檢驗其能否應用於非線性網路。
3. 互換性：依據電源轉換定理，驗證實務上由電壓源串聯電阻轉為電流源並聯電阻的可行性。

選項分析

• (A) 正確： 若一電路同時具備有限且非零的開路電壓 $V_{oc}$ 與短路電流 $I_{sc}$，則其戴維寧電阻為 $R_{th} = \frac{V_{oc}}{I_{sc}}$，諾頓電阻為 $R_N = \frac{V_{oc}}{I_{sc}}$。故兩者的等效電阻必完全相等（$R_{th} = R_N$）。
• (B) 正確：

核心觀念

本題考查交流電路中的功率定義與功率三角形（Power Triangle）​的基本概念。

在單相交流電路中，設電源端電壓有效值為 $V$（即 $V_{\text{rms}}$），負載端電流有效值為 $I$（即 $I_{\text{rms}}$），電壓與電流的相位差為 $\theta$（稱為功率因數角），交流電力的三種基本功率定義如下：

1. 視在功率（Apparent Power, $S$）： 電源端電壓有效值與電流有效值的直接乘積，代表電源所具備的總供電容量或設備的額定容量。 $S = V \times I$ 單位為伏安（$\text{VA}$）​或千伏安（$\text{kVA}$）。

2. 有效功率（Real / Active / Average Power, $P$）： 又稱平均功率，指電路中真正被電阻性負載消耗並轉換為熱能、光能或機械能的功率。 $P = V I \cos\theta = S \cos\theta$ 單位為瓦特（$\text{W}$）​或千瓦（$\text{kW}$）。其中 $\cos\theta$ 為功率因數（Power Factor, $\text{PF}$）。

3. 無效功率／虛功率（Reactive Power, $Q$）： 電路中純電感或純電容等儲能元件與電源之間來回交換、不轉化為對外作功的功率。 $Q = V I \sin\theta = S \sin\theta$ 單位為乏（$\text{VAR}$）​或千乏（$\text{kVAR}$）。

解題方法

題目中敘述：「交流電源電壓有效值與供應有效電流的乘積」。 依據交流電路的定義，將電壓有效值 $V$ 與電流有效值 $I$ 直接相乘，所得的物理量即為視在功率： $S = V \cdot I$

因此，電壓有效值與電流有效值的乘積直接對應「視在功率」。

選項分析

• (A) 錯誤：有效功率（$P$）是實際作功的功率，其計算必須考慮電壓與電流之間的相位差（功率因數角 $\theta$），公式為 $P = V I \cos\theta$。純粹由電壓有效值與電流有效值相乘（$V I$）並非有效功率。
• (B) 正確：視在功率（$S$）的定義即為電壓有效值與電流有效值的乘積（$S = V I$），代表電路中看似存在的總功率容量。
• (C) 錯誤：虛功率（$Q$）即無效功率的另一種稱呼，計算式為 $Q = V I \sin\theta$，必須乘上無效因數（$\sin\theta$），而非僅有有效值的直接乘積。

核心觀念

1. 複數的代數形式（直角坐標形式）與加減運算： 複數以直角坐標表示為 $Z = x + jy$，其中 $x$ 為實部，$y$ 為虛部。兩複數相加減時，採「實部與實部相加減、虛部與虛部相加減」的原則： $(x_1 + jy_1) \pm (x_2 + jy_2) = (x_1 \pm x_2) + j(y_1 \pm y_2)$
2. 直角坐標轉極坐標形式： 複數以極坐標表示為 $Z = r\angle\theta$：

• 模值（大小）：$r = \sqrt{x^2 + y^2}$
• 相角（輻角）：$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$
• 若為純虛數（實部為 0）：
• 當虛部大於 0（位於正虛軸）：$+jy = y\angle90^\circ$
• 當虛部小於 0（位於負虛軸）：$-jy = y\angle-90^\circ$（或 $y\angle270^\circ$）

解題方法

步驟一：計算兩複數相減（直角坐標運算） 將題目給定之 $A = 6 + j4$ 與 $B = 6 - j4$ 進行相減： $A - B = (6 + j4) - (6 - j4)$ 實部與實部相減、虛部與虛部相減： $A - B = (6 - 6) + j[4 - (-4)]$ $A - B = 0 + j(4 + 4) = j8$

步驟二：將運算結果由直角坐標轉換為極坐標 所得結果 $A - B = j8$ 為純虛數：

• 大小：$r = \sqrt{0^2 + 8^2} = 8$
• 相角：在複數平面上，點 $(0, 8)$ 位於正虛軸（$+j$ 軸），相角為 $+90^\circ$。

故極坐標表示式為： $A - B = 8\angle90^\circ$

選項分析

• (A) $10\angle53^\circ$：錯誤。若在計算過程中誤將實部保留為 6，形成 $6 + j8$，其模值為 $\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$，相角為 $\tan^{-1}\left(\frac{8}{6}\right) \approx 53.13^\circ$；但本題實部相減後已完全抵消為 0，並非此值。
• (B) $10\angle-53^\circ$：錯誤。此為複數 $6 - j8$ 的極坐標形式，並非 $A - B$ 的計算結果。
• (C) $8\angle0^\circ$：錯誤。

核心觀念

本題考查國際單位系統（SI 制，Système International d'Unités）中常見電學物理量與其單位的對應關係。

1. 基本量與導出量：

• 電流（$I$）為 SI 制七大基本物理量之一，基本單位為安培（$\text{A}$）。
• 其他電學量多為導出量，由基本量組合推導而得。

2. 常見電學量定義與單位：

• 電荷量（$Q$）：$Q = I \times t$，SI 單位為庫侖（$\text{C}$），$1\text{ C} = 1\text{ A}\cdot\text{s}$。
• 電能 / 功（$W$）：$W = Q \times V = P \times t$，SI 單位為焦耳（$\text{J}$），於微觀物理與電子學中亦常用電子伏特（$\text{eV}$）表示能量。
• 電功率（$P$）：$P = \frac{W}{t} = V \times I$，SI 單位為瓦特（$\text{W}$），$1\text{ W} = 1\text{ J/s}$。
• 電容（$C$）：$C = \frac{Q}{V}$，SI 單位為法拉（$\text{F}$），$1\text{ F} = 1\text{ C/V}$。

解題方法

本題為基礎物理量與量綱因次的配對判斷題。解題時直接檢視各選項之「物理量」與「單位」是否屬於同一物理因次（物理意義是否相符）：

1. 檢視選項 (A)、(B)、(D)，皆出現了物理量與單位的嚴重錯配（跨物理量錯置）。
2. 選項 (C) 之「電子伏特（$\text{eV}$）」本質即為電能的能量計量單位，兩者物理屬性相符。

選項分析

• (A) 錯誤： 法拉（Farad，$\text{F}$）是電容（Capacitance）的單位，表儲存電荷的能力（$C = \frac{Q}{V}$）；而電荷（Electric Charge）的 SI 單位應為庫侖（Coulomb，$\text{C}$）。
• (B) 錯誤： 焦耳（Joule，$\text{J}$）是功（Work）或能量（Energy）的單位；而電功率（Electric Power）表示單位時間內所消耗或轉換的電能（$P = \frac{W}{t}$），其 SI 單位應為瓦特（Watt，$\text{W}$）。
• (C) 正確： 電子伏特（electron-volt，$\text{eV}$）為電學與原子物理中衡量微觀電能（Electric Energy）的常用能量單位，定義為一個電子（帶電量 $e \approx 1.602 \times 10^{-19}\text{ C}$）通過 $1\text{ V}$ 之電位差所獲得或消耗的動能／電位能，即：

核心觀念

本題考「串聯 RLC 電路的阻抗」與「串聯諧振」。電阻、電感及電容串聯時，總阻抗為

其中，$j$ 為虛數單位，感抗與容抗分別為

阻抗大小為

感抗與容抗的作用相反，必須相減；當 $X_L=X_C$ 時，電路發生串聯諧振，總阻抗呈純電阻性，故 $Z=R$。

解題方法

先換算單位：

代入 $\omega=1000\ \text{rad/s}$，計算感抗：

計算容抗：

由於感抗與容抗相等，總電抗為零，因此

故阻抗大小為

選項分析

• (A) $50\ \Omega$：錯誤。 串聯 RLC 電路的阻抗大小滿足 $|Z|\geq R$，不會低於本題的 $100\ \Omega$。
• (B) $20\ \Omega$：錯誤。 同樣小於串聯電阻值，不符合阻抗大小的公式。
• (C) $100\ \Omega$：正確。 本題 $X_L=X_C=100\ \Omega$，兩者抵消後，總阻抗等於電阻值。