107 國營臺灣鐵路公司不分職等 營運員-土木工程 台鐵營運人員 營運員(土木工程) (測量學概要) 考古題詳解

核心觀念

1. 比例尺定義： 比例尺（Scale, $S$）代表圖上距離（$d$）與實地水平距離（$D$）之比值，通常表示為分子為 1 的分數或比例： $S = \frac{d}{D} = \frac{1}{M}$ 其中 $M$ 為比例尺分母。實地水平距離為： $D = d \times M$
2. 長度單位換算： 在測量學與工程計算中，單位一致性是避免計算失誤的基本要件： $1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm} = 1000\,\mathrm{mm}$

解題方法

本題已知：

• 比例尺分母 $M = 1000$
• 圖上長度 $d = 1.5\,\mathrm{cm}$

計算步驟：

1. 依比例尺計算實地長度（單位：$\mathrm{cm}$）： $D = d \times M = 1.5\,\mathrm{cm} \times 1000 = 1500\,\mathrm{cm}$

2. 將公分（$\mathrm{cm}$）換算為公尺（$\mathrm{m}$）： $D = \frac{1500\,\mathrm{cm}}{100\,\mathrm{cm/m}} = 15\,\mathrm{m}$

故實地長度為 $15\,\mathrm{m}$。

選項分析

• (A) $150\,\mathrm{m}$：錯誤。若換算單位時誤將 $1\,\mathrm{m}$ 視為 $10\,\mathrm{cm}$，或是多乘了一次 10，會得到此錯誤量級。
• (B) $15\,\mathrm{m}$：正確。圖上 $1.5\,\mathrm{cm}$ 放大 1000 倍為 $1500\,\mathrm{cm}$，除以 100 換算為公尺即為 $15\,\mathrm{m}$。
• (C) $1.5\,\mathrm{m}$：錯誤。

核心觀念

本題考查三角高程測量（Trigonometric Leveling）​的基本原理與幾何計算。

1. 天頂距與垂直角（仰角／俯角）之關係：

• 天頂距（Zenith Distance, $Z$）是以天頂方向為基準（$0^\circ$）順時針向下度量至視線之垂直夾角。
• 垂直角（Vertical Angle, $\alpha$）是以水平視線為基準（$0^\circ$），向上為仰角（正值）、向下為俯角（負值）。
• 兩者幾何轉換關係式為： $\alpha = 90^\circ - Z$ 若 $Z < 90^\circ$，表示視線為仰角（目標高於儀器）；若 $Z > 90^\circ$，則為俯角。

2. 三角高程基本公式： 地面 A、B 兩點之高程差 $\Delta H_{AB}$ 與 B 點高程 $H_B$ 計算公式為： $H_B = H_A + i + V - t$ 其中：

• $H_A$：測站 A 點之高程。
• $H_B$：照準點 B 點之高程。
• $i$：儀器高（Instrument Height，測站地面中心樁至經緯儀橫軸之高度）。
• $t$：覘標高（Target Height，目標地面中心樁至覘標中心之高度）。
• $V$：儀器橫軸中心與覘標中心間之垂直高差，$V = D \tan \alpha = D \cot Z$（$D$ 為 A、B 間之水平距離）。

解題方法

步驟一：求垂直角（仰角）$\alpha$ 題目測得天頂距 $Z = 45^\circ$，求得垂直角為： $\alpha = 90^\circ - Z = 90^\circ - 45^\circ = +45^\circ \quad (\text{視線向上，為仰角})$

步驟二：計算垂直高差 $V$ 已知水平距離 $D = 200.00\,\mathrm{m}$，且 $\tan 45^\circ = 1$： $V = D \cdot \tan \alpha = 200.00 \times \tan 45^\circ = 200.00 \times 1 = 200.00\,\mathrm{m}$

步驟三：計算 B 點高程 $H_B$ 已知「儀器高等於覘標高」（即 $i = t$），則項次 $i - t = 0$，三角高程公式簡化為： $H_B = H_A + V + (i - t) = H_A + V + 0$ 將已知數值代入： $H_B = 50.00 + 200.00 = 250.00\,\mathrm{m}$

選項分析

• (A) 正確：$H_B = H_A + D \tan(90^\circ - Z) = 50.00 + 200.00 \times 1 = 250.00\,\mathrm{m}$，完全符合計算結果。
• (B) 錯誤：數值為 $300.00\,\mathrm{m}$。

核心觀念

本題考查工程測量中「水準測量（高程測設／高程放樣）」的基本原理與「視線高法（儀器高法，Height of Instrument Method）」之計算應用。

1. 視線高程（$HI$）定義： 水準儀整平後，望遠鏡水平視線所在的絕對高程稱為視線高（Height of Instrument, $HI$）。其值等於已知水準點高程加上該點之後視讀數（Backsight, $BS$）： $HI = H_{\text{已知}} + BS$
2. 高程放樣與前視讀數（$FS$）關係： 在同一次儀器架設中，視線高 $HI$ 保持不變。當水準尺直立於任何點位時，該點高程（即尺底高程）加上尺面讀數必等於視線高： $H + FS = HI \implies H = HI - FS$ 若要使尺底剛好位於「設計高程」（$H_{\text{設計}}$），則水準儀望遠鏡中所應觀測到的前視讀數（Foresight, $FS$）為： $FS = HI - H_{\text{設計}}$

解題方法

本題為標準的單站水準高程測設計算，求解步驟如下：

步驟一：計算水準儀之視線高（$HI$） 水準儀安置於基地與已知點之間，已知點高程 $H_{\text{已知}} = 99.322\,\mathrm{m}$，後視讀數 $BS = 1.568\,\mathrm{m}$： $HI = H_{\text{已知}} + BS = 99.322 + 1.568 = 100.890\,\mathrm{m}$

步驟二：計算放樣至設計高程所需之前視讀數（$FS$） 基地的設計高程 $H_{\text{設計}} = 100.000\,\mathrm{m}$。欲使水準尺底端恰好落在該高程上，依視線高法公式推導： $FS = HI - H_{\text{設計}} = 100.890 - 100.000 = 0.890\,\mathrm{m}$

現場施工放樣時，調整標尺位置直到水準儀十字絲橫絲恰好切於 $0.890\,\mathrm{m}$ 處，此時水準尺底面所在的位置即為設計高程 $100.000\,\mathrm{m}$。

選項分析

• (A) 錯誤：$0.678\,\mathrm{m}$ 為設計高程與已知點高程之差值（$100.000 - 99.322 = 0.678\,\mathrm{m}$），此為兩點間的高差 $\Delta h$，而非前視水準尺之讀數。
• (B) 錯誤：$2.246\,\mathrm{m}$ 為公式符號誤判之結果。若錯誤地將高差與後視讀數相加（$0.678 + 1.568 = 2.246\,\mathrm{m}$），會得到此數值（等同於將較高的地形誤算為需要更大的讀數）。

核心觀念

本題考查測量學中比例尺（Scale）的定義與圖上距離換算。

1. 比例尺定義：圖上兩點之距離（圖上長度 $d$）與相應地面兩點間之水平距離（實地長度 $D$）的比值，通常以分子為 $1$ 的分數表示： $\text{比例尺 } S = \frac{d}{D} = \frac{1}{M}$ 其中 $M$ 為比例尺分母數值。
2. 實地距離守恆原理：不論在何種比例尺的地圖上，A、B 兩點在地面上的真實水平距離 $D$ 為固定不變的常數： $D = d_1 \times M_1 = d_2 \times M_2$ 由上式可知，在實地距離固定時，圖上長度與比例尺成正比，與比例尺分母成反比。

解題方法

本題可採用「實地距離還原法」或「比例尺反比關係法」求解：

方法一：實地距離還原法（基本推導）

1. 求實地長度 $D$： 在 $1/300$ 比例尺圖上，圖上距離 $d_1 = 12\,\mathrm{cm}$，比例尺分母 $M_1 = 300$。 $D = d_1 \times M_1 = 12\,\mathrm{cm} \times 300 = 3600\,\mathrm{cm} = 36\,\mathrm{m}$
2. 求 $1/600$ 圖上的長度 $d_2$： 在 $1/600$ 比例尺圖上，比例尺分母 $M_2 = 600$。 $d_2 = \frac{D}{M_2} = \frac{3600\,\mathrm{cm}}{600} = 6\,\mathrm{cm}$

方法二：比例關係法（快速求解）

因實地距離 $D$ 不變，$d_1 \times M_1 = d_2 \times M_2$： $d_2 = d_1 \times \frac{M_1}{M_2} = 12\,\mathrm{cm} \times \frac{300}{600} = 12\,\mathrm{cm} \times \frac{1}{2} = 6\,\mathrm{cm}$

選項分析

• (A) $3\,\mathrm{cm}$：錯誤。若誤將比例尺之比當成面積比（長度比之平方比，即 $(1/2)^2 = 1/4$）計算，會算出 $12 \times \frac{1}{4} = 3\,\mathrm{cm}$，此為混淆「長度比」與「面積比」的典型錯誤。
• (B) $6\,\mathrm{cm}$：正確。

核心觀念

本題測驗測量學與地政實務中常見的面積單位換算，涉及公制面積單位（公頃、公畝、平方公尺）與臺灣土地登記常用單位（坪）之間的轉換關係：

1. 公制面積單位之定義與換算：

• $1\text{ 公畝 (a)} = 100\text{ m}^2$
• $1\text{ 公頃 (ha)} = 100\text{ 公畝} = 10{,}000\text{ m}^2$

2. 公制與「坪」之換算基準：

• 臺灣度量衡標準規定 $1\text{ 坪} = \frac{400}{121}\text{ m}^2 \approx 3.305785\text{ m}^2$。
• 換算常數為精確小數： $1\text{ m}^2 = \frac{121}{400}\text{ 坪} = 0.3025\text{ 坪}$

解題方法

步驟一：將土地面積統一換算為公制之「平方公尺（$\text{m}^2$）」

題目給定土地面積為 $1\text{ 公頃 } 5\text{ 公畝}$： $\text{面積} = (1 \times 10{,}000\text{ m}^2) + (5 \times 100\text{ m}^2) = 10{,}000\text{ m}^2 + 500\text{ m}^2 = 10{,}500\text{ m}^2$

步驟二：將平方公尺轉換為「坪」

利用換算係數 $1\text{ m}^2 = 0.3025\text{ 坪}$： $\text{坪數} = 10{,}500 \times 0.3025 = 3{,}176.25\text{ (坪)}$

取四捨五入至整數位，約等於 $3{,}176$ 坪。

選項分析

• (A) 錯誤：$1{,}050$ 坪係將「$1$ 公頃 $5$ 公畝」誤記為十進位的 $1{,}050\text{ m}^2$，並誤以 $1\text{ m}^2 = 1\text{ 坪}$ 所產生之數值。
• (B) 錯誤：$4{,}401$ 坪數值明顯偏大，通常為換算方向相反（誤以平方公尺除以 $2.38$ 或誤用英制畝數換算）所致之干擾選項。

核心觀念

經緯儀以正、倒鏡觀測同一方向時，倒鏡讀數與正鏡讀數理論上相差 $180^\circ$。計算前先將倒鏡讀數減去 $180^\circ$，化到與正鏡相同的方向，再取兩次方向讀數的平均值。最後以 $B$ 方向平均讀數減去 $A$ 方向平均讀數，求得 $\angle AOB$。

解題方法

先將 $A$ 點的倒鏡讀數化算：

因此，$A$ 方向平均讀數為：

再將 $B$ 點的倒鏡讀數化算：

因此，$B$ 方向平均讀數為：

兩方向相減：

選項分析

依題目表列讀數計算，結果約為 $92^\circ02'36''$，與四個選項均不相符：

核心觀念

經緯儀（或全測站儀）在觀測水平角時，通常採用「正倒鏡觀測法」（又稱盤左、盤右觀測法），用以消除儀器的視準軸誤差（橫差）及水平軸傾斜誤差（指標差／傾斜差）。

1. 正鏡與倒鏡定義：

• 正鏡（盤左，Face Left, FL）：垂直度盤位於望遠鏡觀測方向的左側。
• 倒鏡（盤右，Face Right, FR）：將望遠鏡縱轉 $180^\circ$，照準部旋轉 $180^\circ$ 後，垂直度盤位於觀測方向的右側。

2. 水平度盤幾何關係： 在理想狀況（無儀器誤差）下，瞄準同一目標時，正鏡讀數 $R_{\text{正}}$ 與倒鏡讀數 $R_{\text{倒}}$ 理論上相差一個平角（$180^\circ$），其關係式為： $R_{\text{倒}} = R_{\text{正}} \pm 180^\circ$

• 當 $R_{\text{正}} < 180^\circ$ 時：$R_{\text{倒}} = R_{\text{正}} + 180^\circ$
• 當 $R_{\text{正}} \ge 180^\circ$ 時：$R_{\text{倒}} = R_{\text{正}} - 180^\circ$

解題方法

1. 條件檢視： 題目給定正鏡讀數為 $R_{\text{正}} = 220^\circ 20' 30''$。

2. 公式運算： 因正鏡讀數 $220^\circ 20' 30'' \ge 180^\circ$，故倒鏡讀數應減去 $180^\circ$： $R_{\text{倒}} = 220^\circ 20' 30'' - 180^\circ 00' 00'' = 40^\circ 20' 30''$

3. 結論： 在無儀器誤差的理想條件下，理論倒鏡讀數為 $40^\circ 20' 30''$。在實際觀測中即使存在微小誤差（通常僅數秒差距），其倒鏡讀數亦最接近 $40^\circ 20' 30''$。

選項分析

• (A) 錯誤：$130^\circ 20' 30''$ 為誤以 $90^\circ$ 進行加減運算所得之結果（$220^\circ 20' 30'' - 90^\circ = 130^\circ 20' 30''$），混淆了直角與平角之關

核心觀念

1. 坐標反算（Coordinate Inverse Computation）： 在平面測量中，由兩已知點坐標反求測線之長度（距離）與方位角。
2. 方位角（Azimuth / Whole Circle Bearing, $\phi$）： 自基準北方（正北）起算，依順時針方向旋轉至測線方向的水平夾角，角度範圍為 $0^\circ \le \phi < 360^\circ$。
3. 測線起迄方向與坐標增量： 對於測線 $BA$，其起點為 $B$ 點（測站點）、終點為 $A$ 點（照準點），其坐標增量定義為「終點坐標減起點坐標」： $\Delta N_{BA} = N_A - N_B$ $\Delta E_{BA} = E_A - E_B$
4. 正、反方位角關係： 同一直線的正反方位角互差 $180^\circ$： $\phi_{BA} = \begin{cases} \phi_{AB} + 180^\circ & (\phi_{AB} < 180^\circ) \\ \phi_{AB} - 180^\circ & (\phi_{AB} \ge 180^\circ) \end{cases}$

解題方法

本題提供兩種解法，均可求得正確結果：

方法一：坐標增量與象限角推算法（直接法）

1. 計算測線 $BA$ 之坐標增量：

• 縱坐標增量： $\Delta N_{BA} = N_A - N_B = 30 - 70 = -40\,\mathrm{m}$
• 橫坐標增量： $\Delta E_{BA} = E_A - E_B = 50 - 90 = -40\,\mathrm{m}$

2. 判定所在象限：

• $\Delta N_{BA} < 0$（指向南方）
• $\Delta E_{BA} < 0$（指向西方）
• 增量皆為負值，表示測線 $BA$ 指向「西南方向」，位於第三象限。

3. 計算象限角（Reduced Bearing, $R$）： $\tan R = \left| \frac{\Delta E_{BA}}{\Delta N_{BA}} \right| = \left| \frac{-40}{-40} \right| = 1 \implies R = 45^\circ$ 即象限角為 $\mathrm{S}45^\circ\mathrm{W}$。

4. 換算全圓方位角 $\phi_{BA}$： 第三象限方位角為： $\phi_{BA} = 180^\circ + R = 180^\circ + 45^\circ = 225^\circ$

方法二：正反方位角互換法

1. 先求測線 $AB$ 之方位角 $\phi_{AB}$：

• $\Delta N_{AB} = N_B - N_A = 70 - 30 = +40\,\mathrm{m}$
• $\Delta E_{AB} = E_B - E_A = 90 - 50 = +40\,\mathrm{m}$
• $\Delta N > 0$ 且 $\Delta E > 0$，位於第一象限（東北象限），且 $\tan \phi_{AB} = \frac{40}{40} = 1$，故： $\phi_{AB} = 45^\circ$

2. 利用反方位角公式求 $\phi_{BA}$： 因 $\phi_{AB} < 180^\circ$，故加上 $180^\circ$：

核心觀念

本題測驗之核心為平面控制測量中「導線測量之分級體系與精密度關係」。

在測量學與控制測量實務中，為貫徹「由高級控制低級、由整體擴展至局部」之施測原則，控制測量會依照施測目的、範圍尺度、使用儀器規格以及成果所容許之誤差大小進行分級。無論是三角測量、三邊測量、水準測量或導線測量，其等級分類通常由高至低劃分為：一等、二等、三等、四等（次於四等者通常為圖根導線或細部導線）。等級愈高，觀測測回數愈多、儀器精度規格愈嚴格、容許的角度與導線全長相對閉合差（例如 $K = \frac{f_L}{\Sigma L}$）愈小，所求得的成果精密度（Precision）即愈高。

解題方法

1. 掌握控制測量階層順序： 導線測量依成果精密度由高至低之排列順序為： $\text{一等導線} > \text{二等導線} > \text{三等導線} > \text{四等導線}$
2. 精度指標判別： 導線測量之精密度常以「導線全長相對閉合差」衡量。等級愈高者，其相對閉合差的容許限差愈嚴格（分母數值愈大，代表誤差相對於總長度的比例愈小）。因此，四個選項中以「一等導線」之技術規範標準最高、閉合差容許限值最小，其精密度最高。

選項分析

• (A) 四等導線：錯誤。在題列四種等級中級別最低，其測角測距限制較寬、容許相對閉合差最大（精度最低），主要作為小範圍工程或圖根點加密前之控制。
• (B) 三等導線：錯誤。

核心觀念

在測量學中，距離測量的成果好壞通常以相對精度（Relative Precision）來評定。相對精度定義為「量距誤差（或較差）與測量總長度之比值」，習慣以分子為 $1$ 的分數形式表示：

$\text{相對精度} = \frac{\text{量距誤差 } e}{\text{測量距離 } D} = \frac{1}{K}$

其中：

• $e$ 為量距之誤差（單位與距離相同，本題為 $\mathrm{m}$）。
• $D$ 為所測量之水平距離（本題為 $180.000\,\mathrm{m}$）。
• $\frac{1}{K}$ 為該次測量之精度（本題為 $\frac{1}{3000}$）。

已知測距長度與精度時，移項即可求得誤差值： $e = D \times \text{精度} = \frac{D}{K}$

解題方法

1. 列出已知條件：

• 水平測距長度 $D = 180.000\,\mathrm{m}$
• 測量精度 $= \frac{1}{3000}$

2. 代入公式計算誤差： $e = 180.000 \times \frac{1}{3000} = \frac{180}{3000} = \frac{18}{300} = 0.060\,\mathrm{m}$

3. 推導結果： 此量距之誤差為 $0.060\,\mathrm{m}$。

選項分析

• (A) 錯誤：$0.030\,\mathrm{m}$。若誤差為 $0.030\,\mathrm{m}$，其精度為 $\frac{0.030}{180.000} = \frac{1}{6000}$，與題目條件不合。
• (B) 錯誤：$0.300\,\mathrm{m}$。若誤差為 $0.300\,\mathrm{m}$，其精度為 $\frac{0.300}{180.000} = \frac{1}{600}$，為計算時少移一位小數點的干擾項。
• (C) 正確：$0.060$（單位為 $\mathrm{m}$）。

核心觀念

本題旨在測驗工程測量中測量（Surveying）​與測設（Setting out / Staking out）​的基本定義與術語辨析。

1. 基本測量（Surveying / Data Acquisition）：屬於「由實地到圖紙（或數值模型）」的過程。將現地的自然地貌、人工地物之相對位置（角度、距離、高程），透過測量儀器測得數據，繪製成地形圖或建立數值坐標資料庫。
2. 測設／放樣（Setting out / Staking out / Layout）：屬於「由圖紙到實地」的互逆過程。依據工程規劃與設計圖說上構建物的幾何關係（設計坐標、長度、轉折角、高程等），利用測量儀器與工具，將其平面幾何位置與高程標定在施工現場，作為開挖、基礎施作、結構立模等施工依據。
3. 平面位置測設：專指將工程結構物點位之平面坐標 $(X, Y)$ 或相對幾何要素（水平角、水平距），藉由極坐標法、正交坐標法、交會法或 GNSS-RTK 等方法標註在現地地面上，工程實務與測量學中通稱為點位放樣。

解題方法

解答本題的切入點在於區分「資料收集（測量）」與「現場標定（測設）」之不同功能與對應名詞：

1. 詞義對應：在工程測量學中，「測設」即為工程界俗稱的「放樣」（Setting out 或 Staking out）。
2. 工作性質：本題題幹為「平面位置測設」，指的是將設計圖上的「點位」準確標記於地表，故對應的完整專業名詞為「點位放樣」（或「平面放樣」）。相對地，高程之測設通常稱為「高程放樣」或「水準放樣」。

選項分析

• (A) 點位放樣：正確。 「測設」在土木建築工程測量實務中普遍稱為「放樣」。平面位置測設即是將圖紙上的設計點位以測量技術釘設木樁、鋼釘或標記於現場，故平面位置測設又稱為「點位放樣」。
• (B) 點位測取：錯誤。 點位測取（Data Collection / Point Picking）是指在現址將既有特徵點的角度、距離或空間坐標測算出來並記錄下來，方向是「從現場至數據」，屬於地形測量或碎部測量的資料獲取作業，與測設（由設計到現場）之方向相反。

核心觀念

1. 直接水準測量之容許誤差（誤差界線）公式： 在水準測量中，閉合差主要受偶然誤差影響。依據誤差傳播定律，水準測量的累積偶然誤差與設站數的平方根成正比，亦即與測線總長度（公里數）的平方根成正比。 其容許誤差（限差／閉合差容許值）之通用規範公式為： $E = \pm K \sqrt{S}$

• $E$：水準測量容許誤差（誤差界線），通常單位為 $\mathrm{mm}$。
• $S$：測線總長度（路線總距離），單位為 $\mathrm{km}$。
• $K$：精度規範係數（常數），由測量規範之精度等級決定。

2. 相同精度規範下的正比關係： 在相同作業等級與儀器規範下，$K$ 值為定值，因此容許誤差 $E$ 與測線長度的平方根 $\sqrt{S}$ 呈正比： $E \propto \sqrt{S}$

解題方法

本題可採用「比例法」或「係數法」求解，兩者推導如下：

方法一：比例法（最簡捷）

因精度規範相同，$K$ 值相同，A 到 B 測線與 B 到 C 測線之容許誤差比值等於其長度平方根之比值： $\frac{E_{\mathrm{BC}}}{E_{\mathrm{AB}}} = \sqrt{\frac{S_{\mathrm{BC}}}{S_{\mathrm{AB}}}}$

已知條件：

• $S_{\mathrm{AB}} = 16\,\mathrm{km}$
• $E_{\mathrm{AB}} = 28\,\mathrm{mm}$
• $S_{\mathrm{BC}} = 4\,\mathrm{km}$

代入數值： $\frac{E_{\mathrm{BC}}}{28} = \sqrt{\frac{4}{16}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ $E_{\mathrm{BC}} = 28 \times \frac{1}{2} = 14\,\mathrm{mm}$

方法二：係數法（標準步驟）

1. 先利用 A 點至 B 點的條件反求該作業之精度規範係數 $K$： $E_{\mathrm{AB}} = K \sqrt{S_{\mathrm{AB}}}$ $28 = K \cdot \sqrt{16} = K \cdot 4 \implies K = \frac{28}{4} = 7\,\mathrm{mm/\sqrt{km}}$
2. 再以求得之 $K = 7\,\mathrm{mm/\sqrt{km}}$ 計算 B 點至 C 點之容許誤差： $E_{\mathrm{BC}} = K \sqrt{S_{\mathrm{BC}}} = 7 \cdot \sqrt{4} = 7 \times 2 = 14\,\mathrm{mm}$

選項分析

核心觀念

本題考查水準儀視距測量（Stadia Measurement）​原理與常數檢定計算。 水準儀之望遠鏡視線水平時，儀器至標尺的水平距離 $D$ 計算公式為： $D = K \cdot s + C$

• $D$：水平距離（單位：$\mathrm{m}$）。
• $K$：視距乘常數（Stadia multiplication constant），光學儀器設計上一般定為 $100$。
• $s$：尺間隔或標尺截距（Stadia intercept），即上絲讀數與下絲讀數之差值（$s = \text{上絲讀數} - \text{下絲讀數}$）。
• $C$：視距加常數（Stadia addition constant），現代內對焦望遠鏡之加常數通常為 $0$。

解題方法

1. 計算尺間隔（標尺截距）$s$： 依題意，上絲讀數為 $1.766\,\mathrm{m}$，下絲讀數為 $1.266\,\mathrm{m}$： $s = 1.766 - 1.266 = 0.500\,\mathrm{m}$

2. 代入公式求解視距乘常數 $K$： 已知水平距離 $D = 50.000\,\mathrm{m}$，視距加常數 $C = 0$： $D = K \cdot s + C$ $50.000 = K \times 0.500 + 0$ $K = \frac{50.000}{0.500} = 100$

因此，該水準儀之視距乘常數為 $100$。

選項分析

• (A) 錯誤：$K = 98$ 非正確計算結果，僅為干擾選項。
• (B) 錯誤：$K = 99$ 為干擾選項；

核心觀念

本題考查三角高程測量（Trigonometric Leveling）​的幾何投影關係。

在短距離三角高程測量中（暫不考慮地球曲率與大氣折光誤差），經緯儀或全測站儀藉由量測水平距離 $D$、垂直角 $\alpha$（以仰角為正）、儀器高 $i$ 以及目標覘標高 $Z$，即可建立空間高程方程式：

1. 視準軸中心高程：測站地面高程加上儀器高。
2. 覘標中心高程：由視準軸中心沿視線上升（或下降）之垂直差值，亦等於目標地面高程加上覘標高。
3. 高程差公式：由測站點至目標點之高程差 $\Delta H_{AB} = H_B - H_A$。

解題方法

設 $A$ 點地面高程為 $H_A$，$B$ 點地面高程為 $H_B$。

1. 推求儀器中心（視準軸）高程： 經緯儀整置於 $A$ 點，儀器高為 $i$，故儀器中心之高程為： $H_{\text{inst}} = H_A + i$

2. 推求視線照準覘標中心時之高程： 由儀器中心發射之視線與水平線夾角為 $\alpha$（垂直角，此處為仰角），兩點間水平距離為 $D$。 根據直角三角形三角函數關係，視線在覘標處相對於儀器中心的垂直高差為 $V = D\tan\alpha$。 因此，覘標中心之高程為： $H_{\text{target}} = H_{\text{inst}} + V = H_A + i + D\tan\alpha$

3. 推求目標點 $B$ 之地面高程： 覘標中心位於 $B$ 點上方，高度為覘標高 $Z$，因此覘標中心高程亦可表示為： $H_{\text{target}} = H_B + Z$

4. 求取兩點高程差 $\Delta H_{AB}$： 將上述兩式等置： $H_A + i + D\tan\alpha = H_B + Z$ 移項求解 $B$ 點與 $A$ 點的高程差 $\Delta H_{AB} = H_B - H_A$： $\Delta H_{AB} = H_B - H_A = D\tan\alpha + i - Z$

選項分析

• (A) 錯誤：公式中誤將覘標高記為加項（$+Z$）。覘標位於目標地面點之上，若由覘標中心推算回地面點高程，必須向下扣除覘標高，故應為 $-Z$。
• (B) 正確：推導完全符合三角高程幾何關係，由 $A$ 點出發向上經儀器高（$+i$），沿視線仰角爬升（$+D\tan\alpha$），再扣除目標點上的覘標高（$-Z$），即為兩點高程差 $D\tan\alpha + i - Z$。

核心觀念

本題測驗閉合導線計算中「導線全長閉合差」（Linear Misclosure）與「導線精度」（Relative Precision，又稱導線閉合比數）的定義與計算公式。

1. 導線全長閉合差（$W$）： 在平面直角坐標系統中，縱距（緯距）閉合差 $W_y$ 與橫距（經距）閉合差 $W_x$ 互為正交向量分量，其合成之位置閉合差（全長閉合差）依畢氏定理計算： $W = \sqrt{W_x^2 + W_y^2}$

2. 導線精度（$K$）： 導線精度為全長閉合差與導線總長度（$\Sigma L$）之比值，通常表示為分子為 $1$ 的分數形式： $K = \frac{W}{\Sigma L} = \frac{1}{\frac{\Sigma L}{W}}$

解題方法

步驟一：計算導線全長閉合差（$W$） 已知：

• 縱距閉合差 $W_y = +0.030\,\mathrm{m}$
• 橫距閉合差 $W_x = -0.040\,\mathrm{m}$

將兩者代入向量合成公式： $W = \sqrt{(+0.030)^2 + (-0.040)^2} = \sqrt{0.0009 + 0.0016} = \sqrt{0.0025} = 0.050\,\mathrm{m}$

步驟二：計算導線精度（$K$） 已知導線全長 $\Sigma L = 1000\,\mathrm{m}$，代入精度公式： $K = \frac{W}{\Sigma L} = \frac{0.050}{1000} = \frac{1}{\frac{1000}{0.050}} = \frac{1}{20000}$

選項分析

• (A) 錯誤：$1/50000$。若誤將全長閉合差計算為 $0.020\,\mathrm{m}$（如以 $0.040 - 0.030 = 0.010$ 或其他數值誤算），才會得出 $0.020 / 1000 = 1/50000$ 的錯誤結果。
• (B) 錯誤：$1/33333$。此為僅單獨使用縱距閉合差 $+0.030\,\mathrm{m}$ 計算（$0.030 / 1000 \approx 1/33333$），忽略了橫距閉合差與空間向量合成。

核心觀念

1. 傾斜改正（Slope Correction） 在地面量距時，若沿傾斜地面量測，所得長度為斜距（$S$），必須化算為水平距離（$D$）。設斜距為 $S$、水平距離為 $D$、兩端點高差為 $h$，由畢氏定理： $D = \sqrt{S^2 - h^2} = S\left(1 - \frac{h^2}{S^2}\right)^{1/2}$ 利用二項式定理展開並略去高階微小項，可得水平距離與斜距之差值（即傾斜改正數 $C_g$）： $C_g = D - S \approx -\frac{h^2}{2S} \quad (\text{或 } -\frac{h^2}{2D})$ 當直接將傾斜測線視為水平距離時，所產生的距離誤差絕對值為： $\Delta L = \frac{h^2}{2L}$

2. 坡度（傾斜率）定義 測線傾斜百分比 $s = 2\% = 0.02$。在小傾角條件下，坡度定義為垂直高差與水平（或斜面）長度之比： $s = \frac{h}{L} = 0.02$

3. 量距精度（相對精度） 量距精度是以「誤差絕對值與總距離之比值」表示，習慣表示成分子為 $1$ 的分數形式： $\text{精度} = \frac{\Delta L}{L}$

解題方法

本題要求計算「直接將傾斜測線視為水平距離」時所產生的量距精度，解題步驟如下：

步驟一：計算兩端點高差 $h$

測線長度 $L = 100\text{ m}$，坡度 $s = 2\%$： $h = L \times s = 100\text{ m} \times 0.02 = 2\text{ m}$

步驟二：計算因傾斜產生之長度誤差 $\Delta L$

依傾斜改正公式： $\Delta L = \frac{h^2}{2L} = \frac{2^2}{2 \times 100} = \frac{4}{200} = 0.02\text{ m}$

步驟三：計算相對精度

將誤差量除以總測距長度： $\text{精度} = \frac{\Delta L}{L} = \frac{0.02}{100} = \frac{2}{10000} = \frac{1}{5000}$

選項分析

• (A) 錯誤：$1/20000$。若誤將誤差值計算為 $0.005\text{ m}$，或在分母推算時多乘了係數 $4$，才會得出此數值。
• (B) 錯誤：$1/10000$。常見錯誤為套用公式時漏除分母的常數 $2$（誤算為 $\Delta L = \frac{h^2}{L} = 0.04\text{ m}$，進而得出 $0.04/100$ 之錯誤關係），或是誤以高差比值之一半進行直覺猜測。
• (C) 正確：$1/5000$。

核心觀念

本題考核工程測量中測繪（Mapping）​與放樣（Setting out / Staking out）​的根本定義與互逆關係：

1. 測繪（地形測量）：將現場實地之地形、地物與界址，利用測量儀器測量其相對位置、距離、高程與幾何形狀後，按比例縮小繪製於圖紙或轉為數位地圖（即「由實地到圖紙」）。
2. 放樣（施工測設）：剛好相反，是在工程施工階段，依據設計圖或施工圖上的尺寸、坐標與高程，利用測量儀器（如水準儀、全測站儀、GNSS-RTK 等）將結構體之中心線、邊線、控制點或基礎幾何形狀，標定並釘樁於實地基地或既有構造物表面，作為施作人員開挖、綁紮鋼筋、立模與澆置混凝土之基準依據（即「由圖紙到實地」）。

解題方法

本題屬於工程測量學之基本名詞定義題，解題切入點在於判斷資訊傳遞的方向性：

• 題目敘述：「將施工圖（或設計圖）上按比例縮小之結構體」$\to$「定位於基地上或構造物上」。
• 此方向係由「設計圖紙」逆向轉移至「工程現場實地」，完全符合土木工程測量中「放樣」之標準定義。

選項分析

• (A) 調查（Investigation）：錯誤。調查屬於工程前期的資料蒐集作業，包含地籍調查、地質鑽探、地下管線調查、交通量分析及水文氣象資料蒐集等，目的在為後續設計與規劃提供背景依據，並非將圖紙上的結構定位於實地之過程。
• (B) 規劃（Planning）：錯誤。規劃係工程決策與可行性評估階段，主要依據工程目標、土地使用分區、預算限制及調查資料，擬定工程方案、走線構想或建築物配置計畫，屬於室內綜合評估與設計構想工作，尚未進展至實地標定。
• (C) 踏勘（Reconnaissance）：錯誤。

核心觀念

本題考查經緯儀（或水準儀等測量光學望遠鏡）之望遠鏡調焦與消除視差（Elimination of Parallax）操作程序。

望遠鏡的光學系統由外而內主要包含：物鏡、調焦透鏡、十字絲分劃板（十字絲環）及目鏡。為了能精確照準目標並避免視差，望遠鏡的調焦必須遵循​「先調目鏡（對準十字絲），後調物鏡（對準目標物）」​以及​「先施行動作成因，後獲得清晰效果」​之基本準則：

1. 目鏡調焦：依觀測者個人視力調整目鏡，使十字絲清晰無比。
2. 物鏡調焦：利用調焦螺旋移動內部調焦透鏡，使目標之實像準確落在十字絲分劃板所在的平面上。

解題方法

望遠鏡的完整調焦步驟可拆解為兩個循序漸進的階段（各包含「動作」與「目的」）：

1. 第一階段：目鏡調焦（使十字絲清晰）

• 動作：將望遠鏡朝向均勻明亮的背景（如晴空或白紙），3. 旋轉目鏡環。
• 成果：依觀測者視力矯正焦點，達到 2. 使十字絲清晰。
• 此步驟與目標物距離無關，純粹校正觀測者肉眼對十字絲分劃板的焦距。

2. 第二階段：物鏡調焦（使目標像與十字絲重合）

• 動作：以粗照準器對準遠處目標後，4. 旋轉調焦螺旋（物鏡調焦螺旋）。
• 成果：移動望遠鏡內的調焦透鏡，達到 1. 使目標清晰成像在十字絲面。
• 此步驟確保目標之實像與十字絲分劃板共面，徹底消除觀測視差。

綜合以上兩階段的因果與先後關係，正確的操作步驟排列為： $3 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 1$

選項分析

• (A) $1423$ 錯誤： 將「目標成像」置於最前，且將「旋轉目鏡環使十字絲清晰」置於最後，違反了望遠鏡調焦的基本先後順序，且因果倒置。

• (B) $4132$ 錯誤： 此選項呈現「先旋轉調焦螺旋使目標成像，再旋轉目鏡環使十字絲清晰」，屬於「先調物鏡、後調目鏡」的錯誤操作。若十字絲未先調清晰，觀測者將無法判斷目標像是否確實精確落於十字絲平面，極易產生視差與照準誤差。

核心觀念

本題考查平面測量中「方位角」與「方向角」的定義及其相互換算關係。

1. 方位角（Azimuth，常記為 $AZ$ 或 $\phi$）：

• 以正北方向為基準，順時針方向旋轉度量至測線的水平夾角。
• 角度範圍為 $0^\circ \sim 360^\circ$。

2. 方向角（Quadrant Bearing，常記為 $B$）：

• 以子午線之正北（N）​或正南（S）​為起算基準，向東（E）​或向西（W）​度量至測線的水平銳角。
• 角度範圍為 $0^\circ \sim 90^\circ$。
• 表示法為「基準方位（N 或 S）＋ 夾角值 ＋ 偏向方位（E 或 W）」。

3. 方位角與方向角的象限換算關係：

• 第一象限（東北，NE）：$0^\circ < AZ < 90^\circ \implies \text{N}(AZ)\text{E}$
• 第二象限（東南，SE）：$90^\circ < AZ < 180^\circ \implies \text{S}(180^\circ - AZ)\text{E}$
• 第三象限（西南，SW）：$180^\circ < AZ < 270^\circ \implies \text{S}(AZ - 180^\circ)\text{W}$
• 第四象限（西北，NW）：$270^\circ < AZ < 360^\circ \implies \text{N}(360^\circ - AZ)\text{W}$

解題方法

步驟一：判斷測線所在的象限 題目給定測線方位角 $AZ = 150^\circ$。 因為 $90^\circ < 150^\circ < 180^\circ$，可知測線位於第二象限（東南象限），方向角的前後代號必為 $\text{S}$（南）與 $\text{E}$（東）。

步驟二：依公式計算方向角之銳角夾角 第二象限方向角是以正南（S）為起算基準向東量度，計算公式為： $\theta = 180^\circ - AZ = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

步驟三：組合成方向角表示法 結合基準方向與計算所得角度，該測線的方向角表示為 S$30^\circ$E。

選項分析

• (A) 正確：方位角 $150^\circ$ 落於第二象限，以正南方為基準向東度量 $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$，表示法為 S$30^\circ$E。

核心觀念

本題考查土木測量學中「面積水準測量與方格網法（Grid Method / Borrow-pit Method）計算土方量」之基本原理：

1. 方格平均高程法： 在邊長已知之方格（正方形）四個角隅處測得地面高程時，該方格內原地面的平均高程 $\bar{h}$ 為四個角頂點高程的算術平均值： $\bar{h} = \frac{h_1 + h_2 + h_3 + h_4}{4}$

2. 挖填判定與平均厚度： 設整地設計高程為 $H_{\text{設計}}$，則平均挖填深度（高差）為： $\Delta \bar{h} = \bar{h} - H_{\text{設計}}$

• 若 $\bar{h} > H_{\text{設計}}$（$\Delta \bar{h} > 0$）：現地高於設計面，須向下開挖，為挖方（Cut）。
• 若 $\bar{h} < H_{\text{設計}}$（$\Delta \bar{h} < 0$）：現地低於設計面，須向上墊高，為填方（Fill）。

3. 土方體積計算公式： 土方體積 $V$ 等於方格底面積 $A$ 乘以平均填（挖）土深度 $|\Delta \bar{h}|$： $V = A \times |\Delta \bar{h}|$

解題方法

步驟一：計算正方形基地之底面積 $A$ 基地邊長為 $10\,\mathrm{m}$，其底面積為： $A = 10\,\mathrm{m} \times 10\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{m^2}$

步驟二：計算現況地面的平均高程 $\bar{h}$ 已知四角頂點高程分別為 $8\,\mathrm{m}$、$9\,\mathrm{m}$、$10\,\mathrm{m}$、$11\,\mathrm{m}$，取四點之算術平均值： $\bar{h} = \frac{8 + 9 + 10 + 11}{4} = \frac{38}{4} = 9.5\,\mathrm{m}$

步驟三：判定挖填性質與平均深度 設計高程為 $H_{\text{設計}} = 10\,\mathrm{m}$。 現況平均高程與設計高程之差值為： $\Delta \bar{h} = \bar{h} - H_{\text{設計}} = 9.5\,\mathrm{m} - 10\,\mathrm{m} = -0.5\,\mathrm{m}$ 因現況平均高程（$9.5\,\mathrm{m}$）低於設計高程（$10\,\mathrm{m}$），代表地面高度不足，整地時必須運土墊高，故為填方，平均填土深度為 $0.5\,\mathrm{m}$。

步驟四：計算回填土方體積 $V$ $V = A \times |\Delta \bar{h}| = 100\,\mathrm{m^2} \times 0.5\,\mathrm{m} = 50\,\mathrm{m^3}$

因此，整地時須回填土方 $50\,\mathrm{m^3}$。

選項分析

• (A) 錯誤：數值 $50\,\mathrm{m^3}$ 雖正確，但挖填方向判斷錯誤。