107 一般警察特考三等 消防警察人員 微積分 考古題詳解

核心觀念

1. 隱函數微分法（Implicit Differentiation）：當曲線方程式以隱函數形式 $F(x, y) = 0$ 表示時，將 $y$ 視為 $x$ 的可微函數，利用微積分連鎖律（Chain Rule）對 $x$ 微分，求得導函數 $\frac{dy}{dx}$。
2. 導數的幾何意義：平面曲線在切點 $(x_0, y_0)$ 處的切線斜率 $m$，即為該點的一階導數值，即 $m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_0, y_0)}$。
3. 直線的點斜式方程式：通過點 $(x_0, y_0)$ 且斜率為 $m$ 之直線方程式為： $y - y_0 = m(x - x_0)$

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解題方法

步驟一：確認給定點是否在橢圓曲線 $C$ 上 將點 $\left(\sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 代入曲線方程式左式： $(\sqrt{2})^2 + 4\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 2 + 4\left(\frac{2}{4}\right) = 2 + 2 = 4$ 左式等於右式，確認該點為曲線 $C$ 上的「切點」。

步驟二：利用隱函數微分法求導函數 $\frac{dy}{dx}$ 方程式 $x^2 + 4y^2 = 4$ 兩邊對 $x$ 微分： $\frac{d}{dx}(x^2 + 4y^2) = \frac{d}{dx}(4)$ $2x + 8y\frac{dy}{dx} = 0$ 移項整理得： $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{8y} = -\frac{x}{4y} \quad (y \neq 0)$

步驟三：計算切點處的切線斜率 $m$ 將切點坐標 $(x_0, y_0) = \left(\sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 代入導函數： $m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{\left(\sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)} = -\frac{\sqrt{2}}{4\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)} = -\frac{\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

核心觀念

1. 點到曲線的最短距離（極值問題）： 求點 $P(x_0, y_0)$ 與曲線 $y = f(x)$ 上動點 $Q(x, y)$ 之最近距離，通常透過最小化「兩點距離平方」函數 $D(x) = (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2$ 來求解，以避免根號運算。
2. 多項式降次與極值判別： 本題利用對稱性作平移代換 $t = (x - 1)^2$，將四次多項式化為二次函數，直接藉由配方法（或一階導數為零）判定全域極小值。
3. 法線幾何特性： 平滑曲線上距離外點最近之點，該點與外點之連線必與該點之切線垂直（即外點必落在該點之法線上）。

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解題方法

步驟一：整理曲線方程式與設定動點 將拋物線方程式進行配方： $y = 3 + 2x - x^2 = 4 - (x - 1)^2$ 設曲線上任意一點為 $Q(x, y) = \left(x, 4 - (x - 1)^2\right)$，目標點為 $P(1, 2)$。

步驟二：建立距離平方函數 點 $P$ 與動點 $Q$ 之間的距離平方記為 $F(x)$： $F(x) = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (x - 1)^2 + \left[4 - (x - 1)^2 - 2\right]^2 = (x - 1)^2 + \left[2 - (x - 1)^2\right]^2$

步驟三：變數代換與極值求解 觀察式子皆含有 $(x - 1)^2$，令 $t = (x - 1)^2$，因 $x \in \mathbb{R}$，故條件為 $t \ge 0$。 將目標函數改寫為關於 $t$ 的函數 $g(t)$： $g(t) = t + (2 - t)^2 = t + (4 - 4t + t^2) = t^2 - 3t + 4$

將二次函數 $g(t)$ 配方： $g(t) = \left(t - \frac{3}{2}\right)^2 + 4 - \frac{9}{4} = \left(t - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{7}{4}$

因為 $t = \frac{3}{2} > 0$ 落在定義域 $t \ge 0$ 內，故當 $t = \frac{3}{2}$ 時，$g(t)$ 取得最小值： $g_{\min} = \frac{7}{4}$

核心觀念

1. 負無限大極限與平方根化簡（絕對值定義）： 當 $x \to -\infty$ 時，$x < 0$。由算術平方根的性質可知：

$$\sqrt{x^2} = |x| = -x$$

在處理分母的開根號提出最高次項時，負號為關鍵考點。 2. 有界函數與夾擠定理（Squeeze Theorem）： 正弦函數在實數域上為有界函數（$-1 \le \sin(x) \le 1$）。當分母趨近於無限大時，利用夾擠定理可求得震盪項與無窮小量相乘的極限：

$$\lim_{x\to-\infty}\frac{\sin(x)}{x} = 0$$

3. 無窮遠處分式極限的標準化法： 對於 $\frac{\infty}{\infty}$ 型不定式，提出分子與分母的最高次項進行化簡，消除不定性。

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解題方法

本題為非有理分式的無窮遠極限計算，解題切入點在於提出分子與分母的主導項 $x$。

步驟一：化簡分母根式 因為 $x \to -\infty$，即 $x$ 處於負實數範圍（$x < 0$），自根號內部提出 $x^2$：

$$\sqrt{2x^2+1} = \sqrt{x^2\left(2 + \frac{1}{x^2}\right)} = \sqrt{x^2}\cdot\sqrt{2 + \frac{1}{x^2}} = |x|\sqrt{2 + \frac{1}{x^2}} = -x\sqrt{2 + \frac{1}{x^2}}$$

步驟二：化簡分子並整合同除 分子提出 $x$：

$$3x + \sin(x) - 2 = x\left(3 + \frac{\sin(x)}{x} - \frac{2}{x}\right)$$

將分子與分母寫在一起，並約去 $x$（因為 $x \ne 0$）：

$$\frac{3x+\sin(x)-2}{\sqrt{2x^2+1}} = \frac{x\left(3 + \frac{\sin(x)}{x} - \frac{2}{x}\right)}{-x\sqrt{2 + \frac{1}{x^2}}} = \frac{3 + \frac{\sin(x)}{x} - \frac{2}{x}}{-\sqrt{2 + \frac{1}{x^2}}}$$

步驟三：利用夾擠定理說明 $\lim_{x\to-\infty}\frac{\sin(x)}{x} = 0$ 對任意實數 $x$，正弦函數滿足：

$$-1 \le \sin(x) \le 1$$

當 $x < 0$ 時，不等式同除以 $x$（注意除以負數不等號變向）：

$$\frac{1}{x} \le \frac{\sin(x)}{x} \le -\frac{1}{x}$$

因為

$$\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x} = 0 \quad\text{且}\quad \lim_{x\to-\infty}\left(-\frac{1}{x}\right) = 0$$

由夾擠定理可嚴格確立：

$$\lim_{x\to-\infty}\frac{\sin(x)}{x} = 0$$

核心觀念

1. 指數型不定型（Indeterminate Form $1^\infty$）：當 $x \to 0^+$ 時，底數 $1+x \to 1$，指數 $\frac{1}{x} \to \infty$，此極限屬於 $1^\infty$ 型的不定型，不能直接將極限代入求值。
2. 取自然對數化簡法：處理 $0^0$、$1^\infty$、$\infty^0$ 等指數型不定型時，標準程序為令目標函數為 $y$，兩邊取自然對數 $\ln y$，將乘冪轉為乘積，進而化為 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型。
3. 羅必達法則（L'Hôpital's Rule）：若 $\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ 屬於 $\frac{0}{0}$ 型且滿足可微條件，則極限值等於導函數之極限 $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$。
4. 指數函數的連續性：因為自然指數函數 $f(t) = e^t$ 為連續函數，極限運算符號與指數運算可以交換次序：

$$\lim_{x\to0^+} y = \lim_{x\to0^+} e^{\ln y} = e^{\lim_{x\to0^+} \ln y}$$

5. 歐拉數 $e$ 的基本定義：微積分中常數 $e$ 的定義式即為 $\lim_{t\to0}(1+t)^{1/t} = e$。

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解題方法

本題為微積分基礎計算題。解題關鍵在於利用「取自然對數」將原本的指數形式降至乘積，轉為標準分數型態後應用羅必達法則推導。

步驟一：設定函數並取自然對數 設要求之函數為：

$$y = (1+x)^{1/x}$$

兩邊同取自然對數：

$$\ln y = \ln \left( (1+x)^{1/x} \right) = \frac{1}{x} \ln(1+x) = \frac{\ln(1+x)}{x}$$

步驟二：計算對數極限（利用羅必達法則） 考慮當 $x \to 0^+$ 時的極限：

$$\lim_{x\to0^+} \ln y = \lim_{x\to0^+} \frac{\ln(1+x)}{x}$$

此時分子 $\lim_{x\to0^+} \ln(1+x) = \ln 1 = 0$，分母 $\lim_{x\to0^+} x = 0$，屬於 $\frac{0}{0}$ 不定型。 對分子與分母分別對 $x$ 微分：

核心觀念

本題主要測驗定積分的變數變換法（換元積分法，Integration by Substitution）與微積分基本定理。 主要運用之定理與公式如下：

1. 微分連鎖律之微分形式： 若 $u = g(x) = 1 + \sqrt{x}$，則其微分為 $du = g'(x)\,dx = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx$。
2. 定積分的變數變換公式：

$$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$$

3. 冪函數基本積分公式：

$$\int u^n\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$$

當 $n = -2$ 時，$\int u^{-2}\,du = -u^{-1} + C = -\frac{1}{u} + C$。

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解題方法

步驟一：觀察被積函數特徵並設定代換變數 被積函數為：

$$\frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^2} = \frac{1}{(1+\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}$$

注意到複合部分為底數 $(1+\sqrt{x})$，且分母的 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 與其導函數僅差一個常數倍數，適合使用變數代換法。

令 $u = 1 + \sqrt{x}$。

步驟二：計算微分項之對應關係 兩邊對 $x$ 微分得：

$$du = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx \implies \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = 2\,du$$

步驟三：轉換積分上下限

• 當積分下限 $x = 1$ 時：$u = 1 + \sqrt{1} = 2$。
• 當積分上限 $x = 9$ 時：$u = 1 + \sqrt{9} = 1 + 3 = 4$。

步驟四：代入進行積分計算 將上下限與變數代換入原式：

$$I = \int_2^4 \frac{1}{u^2} \cdot 2\,du = 2 \int_2^4 u^{-2}\,du$$

由微積分基本定理求值：

核心觀念

本題評量重點為微積分中的分部積分法（Integration by Parts）與對數函數的微分法則：

1. 分部積分公式：

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

2. 對數微分與連鎖律：

$$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}, \quad \frac{d}{dx}\left[(\ln x)^2\right] = 2(\ln x)\cdot\frac{1}{x} \quad (x > 0)$$

3. 不定積分之常數項：求得反導函數後，必須依規定加上任意積分常數 $C$。

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解題方法

被積函數為純對數函數的平方 $(\ln x)^2$。針對含有對數、反三角函數的單一函數積分，標準策略是將整個函數視為 $u$，並將微分元 $dx$ 視為 $dv$，透過連續兩次分部積分逐步降低對數項的次數。

步驟一：第一次分部積分

令：

$$u = (\ln x)^2 \implies du = 2(\ln x)\cdot\frac{1}{x}\,dx$$ $$dv = dx \implies v = x$$

代入分部積分公式：

$$I = \int (\ln x)^2\,dx = x(\ln x)^2 - \int x \cdot \left[2(\ln x)\cdot\frac{1}{x}\right]\,dx$$

化簡被積式：

$$I = x(\ln x)^2 - 2\int \ln x\,dx$$

步驟二：第二次分部積分

針對剩餘積分 $\int \ln x\,dx$，再次使用分部積分法。令：

$$u_1 = \ln x \implies du_1 = \frac{1}{x}\,dx$$ $$dv_1 = dx \implies v_1 = x$$

代入公式計算：

$$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x$$

步驟三：整合並加入積分常數

將步驟二的結果代回原式：

$$I = x(\ln x)^2 - 2(x\ln x - x) + C$$

展開並整理同類項（亦可提出公因式 $x$）：

核心觀念

本題評量重點為「定積分之幾何應用——兩曲線所圍區域之面積」。解題時需掌握以下核心觀念與公式：

1. 求交點決定積分上下限：聯立兩曲線方程式，解出交點之 $x$ 座標，此即為定積分之積分區間 $[a, b]$。
2. 判別曲線之上下關係：在閉區間 $[a, b]$ 內，若連續函數滿足 $f(x) \ge g(x)$，則 $y = f(x)$ 為「上曲線」，$y = g(x)$ 為「下曲線」。
3. 面積之定積分公式：兩曲線圍成之封閉區域面積 $A$ 定義為： $A = \int_{a}^{b} \left[ f(x) - g(x) \right] \, dx = \int_{a}^{b} (y_{\text{上}} - y_{\text{下}}) \, dx$
4. 微積分基本定理與冪次法則：運用多項式積分公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \ne -1$）求得反導函數，再代入上下限相減。

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解題方法

步驟一：求兩曲線之交點（確定積分區間）

聯立拋物線 $y = 4 - x^2$ 與直線 $y = x + 2$： $4 - x^2 = x + 2$ 移項整理得二次方程式： $x^2 + x - 2 = 0$ 因式分解： $(x + 2)(x - 1) = 0$ 解得兩交點之 $x$ 座標為 $x = -2$ 與 $x = 1$。因此，積分區間為 $[-2, 1]$。

步驟二：判定區間內的上下曲線

在開區間 $(-2, 1)$ 內取測試點 $x = 0$：

• 拋物線高度：$y = 4 - 0^2 = 4$
• 直線高度：$y = 0 + 2 = 2$

因為 $4 > 2$，可知在區間 $[-2, 1]$ 內，拋物線恆在直線上方便為上曲線（$y_{\text{上}} = 4 - x^2$），直線為下曲線（$y_{\text{下}} = x + 2$）。

步驟三：建立定積分式並計算面積

所求面積 $A$ 為： $A = \int_{-2}^{1} \left[ (4 - x^2) - (x + 2) \right] \, dx$ 合併被積函數： $A = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx$

求反導函數並代入積分上下限： $A = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{1}$

核心觀念

1. 旋轉體體積之圓盤法（Disk Method）： 當平面區域由連續曲線 $y = f(x) \ge 0$、直線 $x = a_{\text{start}}$、$x = a_{\text{end}}$ 及 $x$ 軸（$y = 0$）所圍成時，該區域繞 $x$ 軸旋轉一周所形成之旋轉實體，其垂直於 $x$ 軸的截面皆為圓盤。各截面圓盤之半徑為 $y = f(x)$，厚度為 $dx$，其微元體積為 $dV = \pi y^2 \, dx$。整體體積公式為： $V = \pi \int_{a_{\text{start}}}^{a_{\text{end}}} [f(x)]^2 \, dx$

2. 邊界範圍與函數顯式（Explicit Form）之確定： 給定曲線方程式為 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$（其中 $a > 0$），定義域隱含 $x \ge 0$ 且 $y \ge 0$。

• 與 $x$ 軸交點（令 $y = 0$）：$\sqrt{x} = \sqrt{a} \implies x = a$。
• 與 $y$ 軸交點（令 $x = 0$）：$\sqrt{y} = \sqrt{a} \implies y = a$。 故積分區間為 $x \in [0, a]$，區域上方邊界曲線為 $y = (\sqrt{a} - \sqrt{x})^2$。

3. 定積分計算技巧（變數代換法）： 被積函數為 $y^2 = \left[(\sqrt{a} - \sqrt{x})^2\right]^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{x})^4$。處理含有 $(\sqrt{a} - \sqrt{x})$ 高次方的積分時，採用變數代換 $u = \sqrt{a} - \sqrt{x}$ 可將被積多項式簡化為少數項，避免直接展開所造成的繁複運算與通分錯誤。

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解題方法

• 步驟一：確立區域邊界與積分上下限 平面區域 $D$ 由曲線 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$ 與坐標軸 $x = 0$、$y = 0$ 所圍成。 將方程式改寫為 $y$ 關於 $x$ 的函數： $\sqrt{y} = \sqrt{a} - \sqrt{x} \implies y = (\sqrt{a} - \sqrt{x})^2$ 當 $y = 0$ 時，$x = a$；當 $x = 0$ 時，$y = a$。 因此，$x$ 的積分範圍為從 $0$ 到 $a$。

• 步驟二：列出圓盤法之體積積分式 區域 $D$ 繞 $x$ 軸旋轉一周之體積 $V$ 為： $V = \pi \int_{0}^{a} y^2 \, dx = \pi \int_{0}^{a} \left[(\sqrt{a} - \sqrt{x})^2\right]^2 \, dx = \pi \int_{0}^{a} (\sqrt{a} - \sqrt{x})^4 \, dx$

• 步驟三：利用變數代換法進行積分求解 令 $u = \sqrt{a} - \sqrt{x}$，則： $\sqrt{x} = \sqrt{a} - u \implies x = (\sqrt{a} - u)^2$ 兩邊對 $u$ 微分可得： $dx = 2(\sqrt{a} - u)(-1) \, du = 2(u - \sqrt{a}) \, du$ 對應之積分上下限變換為：

• 當 $x = 0$ 時，$u = \sqrt{a} - 0 = \sqrt{a}$

• 當 $x = a$ 時，$u = \sqrt{a} - \sqrt{a} = 0$

將上述變數與區間代入定積分式： $\int_{0}^{a} (\sqrt{a} - \sqrt{x})^4 \, dx = \int_{\sqrt{a}}^{0} u^4 \cdot \left[2(u - \sqrt{a})\right] \, du$ 交換積分上下限以消去負號：