108 一般警察特考三等 消防警察人員 微積分 考古題詳解

108 年・一般警察特考・三等・消防警察人員
試題代碼 微積分

第 一 題10 分

定義函數

F(x)=∫sin⁡xcos⁡xet2+xt dt。F(x)=\int_{\sin x}^{\cos x}e^{t^2+xt}\,dt。

試求 F′(0)F'(0) 之值。

（註：須在使用處說明所使用的定理或法則的名稱。）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查「含參數積分」的微分，需同時處理積分上下限隨 xx 變動，以及被積函數本身含有 xx。使用萊布尼茲積分法則：

若

G(x)=∫a(x)b(x)f(x,t) dt,G(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\,dt,

則

G′(x)=f(x,b(x))b′(x)−f(x,a(x))a′(x)+∫a(x)b(x)∂f∂x(x,t) dt.G'(x)=f\bigl(x,b(x)\bigr)b'(x)-f\bigl(x,a(x)\bigr)a'(x) +\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,dt.

其中上下限項依序由微積分基本定理與鏈鎖律得到；積分內的項則是對被積函數的參數 xx 作偏微分。

解題方法

令

f(x,t)=et2+xt,a(x)=sin⁡x,b(x)=cos⁡x.f(x,t)=e^{t^2+xt},\qquad a(x)=\sin x,\qquad b(x)=\cos x.

先求被積函數對 xx 的偏導數：

∂f∂x(x,t)=tet2+xt,\frac{\partial f}{\partial x}(x,t) =t e^{t^2+xt},

這裡使用鏈鎖律，因為指數函數的指數 t2+xtt^2+xt 對 xx 的偏導數為 tt。

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 二 題15 分

試求適當的實數 aa 和 bb，使下列極限等式成立：

（此題原卷文字擷取不全，請參考原卷。）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

目前提供的題幹缺少「下列極限等式」中的極限式。求 a,ba,b 必須知道極限的完整分子、分母及括號位置；不同的式子會得到不同條件與答案。

解題方法

設原題極限式為 lim⁡x→0F(x;a,b)=0\lim_{x\to 0}F(x;a,b)=0。通常先將 F(x;a,b)F(x;a,b) 在 x=0x=0 附近作泰勒展開，再令最低次的非零項係數符合極限等於 00 的條件。

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 三 題15 分

試求橢圓

x29+y216=1\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1

與直線 x+y=6x+y=6 的最短距離。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考橢圓上點到直線的最短距離。點 (x,y)(x,y) 到直線 x+y−6=0x+y-6=0 的距離為

d=∣x+y−6∣2.d=\frac{|x+y-6|}{\sqrt{2}}.

因此，問題可轉化為：找出橢圓上 x+yx+y 的最大值，再代入距離公式。

解題方法

橢圓為

x29+y216=1.\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1.

利用柯西－施瓦茲不等式：

x+y=x3⋅3+y4⋅4≤(x3)2+(y4)232+42.x+y =\frac{x}{3}\cdot 3+\frac{y}{4}\cdot 4 \leq \sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^2+\left(\frac{y}{4}\right)^2} \sqrt{3^2+4^2}.

由橢圓方程式可知

(x3)2+(y4)2=1,\left(\frac{x}{3}\right)^2+\left(\frac{y}{4}\right)^2=1,

故

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 四 題15 分

試求曲線線段

y=x3+112x,1≤x≤4y=x^3+\frac{1}{12x},\qquad 1\leq x\leq 4

的長度。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

曲線 y=f(x)y=f(x) 在 a≤x≤ba\le x\le b 上的弧長為

L=∫ab1+(f′(x))2 dx.L=\int_a^b\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\,dx.

本題要辨認被積分函數是否能化成完全平方，再用代換積分求弧長。

解題方法

令

f(x)=x3+112x,f(x)=x^3+\frac{1}{12x},

則

f′(x)=3x2−112x2.f'(x)=3x^2-\frac{1}{12x^2}.

代入弧長公式：

L=∫141+(3x2−112x2)2 dx.\begin{aligned} L &=\int_1^4\sqrt{1+\left(3x^2-\frac{1}{12x^2}\right)^2}\,dx. \end{aligned}

注意到

(3x2−112x2)2+1=(3x2+112x2)2,\left(3x^2-\frac{1}{12x^2}\right)^2+1 = \left(3x^2+\frac{1}{12x^2}\right)^2,

因為交叉項為 2⋅3x2⋅112x2=122\cdot 3x^2\cdot\frac{1}{12x^2}=\frac12，而兩平方的常數差正好補成 11。因此

L=∫14(3x2+112x2) dx.L=\int_1^4\left(3x^2+\frac{1}{12x^2}\right)\,dx.
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 五 題15 分

（一）導出下列遞迴公式：

∫cos⁡nx dx=cos⁡n−1xsin⁡xn+n−1n∫cos⁡n−2x dx,n≥2。\int \cos^n x\,dx = \frac{\cos^{n-1}x\sin x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}x\,dx, \qquad n\geq 2。

（註：只有導出此遞迴公式才給分。）

（二）並求

∫0π2cos⁡nx dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x\,dx

之值。

（註：可直接用上列遞迴公式求其值。）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查分部積分法推導冪次遞迴公式，以及利用公式計算定積分。設

In=∫cos⁡nx dx,I_n=\int \cos^n x\,dx,

將 cos⁡nx\cos^n x 拆成 cos⁡n−1x⋅cos⁡x\cos^{n-1}x\cdot\cos x，再以分部積分降低餘下的冪次。

（一）導出遞迴公式

令 u=cos⁡n−1xu=\cos^{n-1}x、dv=cos⁡x dxdv=\cos x\,dx，則

du=−(n−1)cos⁡n−2xsin⁡x dx,v=sin⁡x.du=-(n-1)\cos^{n-2}x\sin x\,dx,\qquad v=\sin x.

依分部積分公式 ∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv=uv-\int v\,du：

In=cos⁡n−1xsin⁡x+(n−1)∫cos⁡n−2xsin⁡2x dx=cos⁡n−1xsin⁡x+(n−1)∫cos⁡n−2x(1−cos⁡2x) dx=cos⁡n−1xsin⁡x+(n−1)In−2−(n−1)In.\begin{aligned} I_n &=\cos^{n-1}x\sin x +(n-1)\int \cos^{n-2}x\sin^2x\,dx\\ &=\cos^{n-1}x\sin x +(n-1)\int \cos^{n-2}x(1-\cos^2x)\,dx\\ &=\cos^{n-1}x\sin x +(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n. \end{aligned}

移項整理：

nIn=cos⁡n−1xsin⁡x+(n−1)In−2,nI_n=\cos^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2},

因此

∫cos⁡nx dx=cos⁡n−1xsin⁡xn+n−1n∫cos⁡n−2x dx,n≥2.\boxed{ \int \cos^n x\,dx = \frac{\cos^{n-1}x\sin x}{n} +\frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}x\,dx },\qquad n\ge 2.

（二）計算定積分

令

Jn=∫0π2cos⁡nx dx.J_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x\,dx.

將遞迴公式在 00 到 π2\frac{\pi}{2} 之間積分，得

Jn=[cos⁡n−1xsin⁡xn]0π2+n−1nJn−2.J_n= \left[\frac{\cos^{n-1}x\sin x}{n}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} +\frac{n-1}{n}J_{n-2}.

邊界項為零：在 x=π2x=\frac{\pi}{2} 時 cos⁡x=0\cos x=0；在 x=0x=0 時 sin⁡x=0\sin x=0。所以

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 六 題15 分

定義區域為曲線

y=x2+1y=x^2+1

和直線

y=2x+1y=2x+1

所包圍的區域。讓此區域圍繞 xx 軸旋轉，生成一空間實體。使用圓盤法（disk method）求出此實體的體積。

（註：限使用圓盤法才給分。）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查圓盤法。平面區域繞 xx 軸旋轉時，若垂直於 xx 軸的截面是實心圓盤，半徑為 R(x)R(x)，則體積為

V=π∫ab[R(x)]2 dx.V=\pi\int_a^b [R(x)]^2\,dx.

本題由兩條曲線圍成的區域位於 xx 軸上方，因此旋轉後的截面為圓盤，半徑取區域上邊界到 xx 軸的距離。

解題方法

先求兩曲線交點，以確定積分範圍：

x2+1=2x+1⟹x(x−2)=0,x^2+1=2x+1 \quad\Longrightarrow\quad x(x-2)=0,

故交點的 xx 座標為 x=0,2x=0,2。在 0≤x≤20\le x\le 2 上，

(2x+1)−(x2+1)=x(2−x)≥0,(2x+1)-(x^2+1)=x(2-x)\ge 0,

所以直線 y=2x+1y=2x+1 是上邊界，拋物線 y=x2+1y=x^2+1 是下邊界。兩者皆在 xx 軸上方，故旋轉後圓盤的外半徑為 2x+12x+1，內半徑為 x2+1x^2+1。使用圓盤法時，每個截面的面積為外圓面積減去內圓面積：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 七 題15 分

考慮弧線

y=4−x2,−1≤x≤1。y=\sqrt{4-x^2},\qquad -1\leq x\leq 1。

試求將這個弧線圍繞 yy 軸旋轉而獲得的旋轉曲面之面積。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考弧線繞 yy 軸旋轉所形成的旋轉曲面面積。以 xx 表示弧線時，弧長微分為

ds=1+(dydx)2 dx.ds=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx.

弧線上每一小段旋轉一周，形成的曲面面積微元為「圓周長 ×\times 弧長」，因此

dS=2π∣x∣ ds.dS=2\pi |x|\,ds.

半徑是到 yy 軸的距離 ∣x∣|x|，不能直接把 xx 當半徑而忽略正負。

解題方法

由

y=4−x2,−1≤x≤1y=\sqrt{4-x^2},\qquad -1\le x\le 1

可得

dydx=−x4−x2,ds=1+x24−x2 dx=24−x2 dx.\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}, \qquad ds=\sqrt{1+\frac{x^2}{4-x^2}}\,dx =\frac{2}{\sqrt{4-x^2}}\,dx.
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

消防警察人員《微積分》其他年度

113112111110109107