107 原住民特考三等 土木工程 工程力學（包括流體力學與材料力學） 考古題詳解

核心觀念

本題屬於流體力學中的「平面之靜水總壓力與壓力中心」，並結合工程力學（靜力學）之「剛體靜力平衡方程式」。解題涉及以下核心理論與公式：

1. 靜水壓力分佈與總壓力公式：

• 液體中某深度 $h$ 處之靜水表壓力（Gauge Pressure）為 $p = \gamma h$，其中 $\gamma$ 為液體單位體積重。
• 作用於垂直平面之總靜水壓力大小為形心壓力乘以受液體浸潤之面積： $F_R = p_c A = \gamma h_c A$ 其中 $h_c$ 為浸潤面形心至自由液面之垂直距離，$A = b \cdot d$ 為受浸潤之有效受力面積（$b$ 為閘門寬度，$d$ 為水深）。
• 對於自液面延伸至底部的垂直矩形平面，壓力分佈呈三角形分佈，總推力亦可直接由壓力稜柱體積計算： $F_R = \frac{1}{2}\gamma b d^2$

2. 壓力中心（Center of Pressure, $y_p$）位置：

• 總推力 $F_R$ 之作用線通過三角形壓力分佈之形心。
• 距離液面之垂直深度為： $h_p = \frac{2}{3}d$
• 距離底邊鉸接 $A$ 之距離為： $y_A = \frac{1}{3}d$

3. 剛體靜力平衡條件：

• 剛體處於靜態平衡時，合力矩與合力皆為零： $\sum M_A = 0, \quad \sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0$

解題方法

1. 幾何尺寸與條件確立

• 依原卷圖示與工程慣例，閘門 $AB$ 立面長度（高度）為 $H = 4\,\mathrm{m}$，垂直紙面方向之寬度為 $b = 3\,\mathrm{m}$。
• 液體深度 $d = 2.9\,\mathrm{m}$，閘門自重未給予，依題意忽略閘門自重。
• 液面與外側皆暴露於大氣中，大氣壓力相互抵消，計算全採表壓力。
• 設液體位於閘門內側（以向右推為例），水平拉力 $T$ 於頂端 $B$ 向左拉住閘門。

2. 計算總靜水壓力 $F_R$

浸潤區為高 $d = 2.9\,\mathrm{m}$、寬 $b = 3\,\mathrm{m}$ 之矩形：

• 浸潤面積： $A = b \cdot d = 3\,\mathrm{m} \times 2.9\,\mathrm{m} = 8.7\,\mathrm{m^2}$
• 形心深度： $h_c = \frac{d}{2} = \frac{2.9}{2} = 1.45\,\mathrm{m}$
• 總靜水壓力： $F_R = \gamma h_c A = 12400\,\mathrm{N/m^3} \times 1.45\,\mathrm{m} \times 8.7\,\mathrm{m^2} = 156426\,\mathrm{N} = 156.426\,\mathrm{kN}$

3. 求支撐拉力 $T$

取閘門 $AB$ 為分離體，以底端鉸接 $A$ 為轉動中心取力矩平衡（令逆時針力矩為正）：

• 靜水壓力 $F_R$ 作用點至 $A$ 點之垂直力臂為： $y_A = \frac{d}{3} = \frac{2.9}{3}\,\mathrm{m}$

核心觀念

本題屬於工程力學中的質點靜力平衡（或以虛功原理分析），涵蓋以下核心力學概念與公式：

1. 虎克定律（Hooke's Law）：彈簧伸長量 $\Delta l = L - l_0$ 與彈簧恢復力 $F_s = k \Delta l$ 之關係。
2. 幾何幾何三角關係：直角三角形中彈簧斜長 $L$、垂直位移 $y$ 與水平距離 $l$ 及傾角 $\theta$ 的三角函數表示式。
3. 共點力系之平衡方程式：光滑接觸面上無摩擦阻力，套筒僅受垂直重力 $W$、水平桿件正向反力 $N$ 及彈簧拉力 $F_s$ 作用，由垂直方向平衡條件 $\sum F_y = 0$ 求解。

解題方法

步驟一：建立幾何關係與求彈簧伸長量

1. 設固定支點 $A$ 至垂直桿件之水平垂直距離為 $l$。
2. 當 $\theta = 0^\circ$ 時，彈簧 $AB$ 呈水平狀態，此時彈簧未受力，故彈簧原長（自然長度） $l_0 = l$。
3. 當套筒 $B$ 沿垂直桿件向下滑動至傾角為 $\theta$ 的平衡位置時：

• 彈簧受拉伸長後的總長度為： $L = \frac{l}{\cos\theta} = l\sec\theta$
• 套筒 $B$ 相對於水平基準線之下滑距離為： $y = l\tan\theta$
• 彈簧的總伸長量 $\Delta l$ 為： $\Delta l = L - l_0 = \frac{l}{\cos\theta} - l = l\left(\frac{1}{\cos\theta} - 1\right) = l(\sec\theta - 1)$

步驟二：彈簧力與力平衡分析

1. 由虎克定律，彈簧對套筒 $B$ 所施加的拉力大小為： $F_s = k \Delta l = k l\left(\frac{1}{\cos\theta} - 1\right)$ 其方向沿著 $BA$ 連線斜向上，與水平線夾角為 $\theta$。
2. 對套筒 $B$ 取隔離體圖（FBD），套筒共受三力作用：

• 垂直向下之重力 $W$
• 水平向左（垂直於桿件）之桿件正向力 $N$
• 沿彈簧方向斜向上之拉力 $F_s$

3. 由垂直方向靜力平衡條件 $\sum F_y = 0$（取向上為正）： $F_s \sin\theta - W = 0$ $W = F_s \sin\theta$
4. 將 $F_s$ 代入上式推導關係式： $W = k l\left(\frac{1}{\cos\theta} - 1\right)\sin\theta = k l\left(\frac{\sin\theta}{\cos\theta} - \sin\theta\right)$ $W = k l (\tan\theta - \sin\theta)$ （亦可表示為 $W = k l (1 - \cos\theta)\tan\theta$ 或 $W = k l (\sec\theta - 1)\sin\theta$）

步驟三：代入數值計算

已知條件：

• $\theta = 58^\circ$
• $l = 500\,\mathrm{mm} = 0.5\,\mathrm{m}$

核心觀念

本題屬於動力學（Dynamics）中質點運動學的經典機構運動問題，主要涵蓋兩大核心觀念：

1. 相依運動（Dependent Motion）與拘束方程式（Kinematic Constraint Equation）： 在滑輪與不可伸長（inextensible）繩索系統中，各運動質點或剛體之位移並非互相獨立，其運動受到繩索幾何長度之拘束。

• 建立拘束長度方程式： $L = \sum s_i + C$ 其中 $L$ 為繩索總長，$s_i$ 為各活動段之座標位置，$C$ 為繞過滑輪弧長等定值常數。
• 對時間微分求得速度拘束關係： $\frac{dL}{dt} = 0 \implies \sum \dot{s}_i = 0$

2. 平面相對運動（Relative Motion in a Plane）： 在二維卡氏座標系下，任意兩點 $C$ 與 $D$ 之速度向量分別為 $\vec{v}_C$ 與 $\vec{v}_D$，則 $C$ 點相對於 $D$ 點的相對速度定義為： $\vec{v}_{C/D} = \vec{v}_C - \vec{v}_D$ 相對速度之純量大小與方向角分別為： $v_{C/D} = |\vec{v}_{C/D}| = \sqrt{v_{C/D,x}^2 + v_{C/D,y}^2}$ $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{v_{C/D,y}}{v_{C/D,x}}\right)$
3. 滑輪系統中繩索質點之傳遞速度特性： 不可伸長繩索在被拉動時，繩上各點沿著繩索走向之傳遞速率等於繩索端點被拉出的速率；但各質點的速度向量方向取決於該段繩索在空間中的幾何方位。

解題方法

依原卷圖三之標準機構配置：物體 $A$ 置於水平面上，繩索繫於物體 $A$ 向右水平延伸並繞經右端固定之定滑輪，點 $C$ 位於此水平段繩索上；繩索經定滑輪轉折垂直向下，繞經懸吊物體 $B$ 之動滑輪，點 $D$ 位於定滑輪與動滑輪間之垂直段繩索上；繩索末端自動滑輪垂直向上固定於頂部天花板。

建立二維直角坐標系：以定滑輪中心為原點，水平向右為 $+x$、水平向左為 $-x$；垂直向上為 $+y$、垂直向下為 $-y$。

步驟一：求物體 $B$ 之速度 $\vec{v}_B$

1. 設物體 $A$ 距定滑輪之水平位置為 $x_A$（向左取正），動滑輪與物體 $B$ 距定滑輪之垂直向下位置為 $y_B$（向下取正）。
2. 不可伸長繩索之總長度幾何關係式為： $L = x_A + 2y_B + C$ 其中 $C$ 為繩索繞過定滑輪及動滑輪之接觸弧長總和，運動過程中為定值。
3. 對時間 $t$ 進行一次微分： $\frac{dL}{dt} = \frac{dx_A}{dt} + 2\frac{dy_B}{dt} = 0$
4. 已知物體 $A$ 向左以等速度 $6\,\mathrm{m/s}$ 移動，使水平繩長 $x_A$ 隨時間伸長，即： $\dot{x}_A = \frac{dx_A}{dt} = 6\,\mathrm{m/s}$
5. 代入微分式求解 $\dot{y}_B$： $6 + 2\dot{y}_B = 0 \implies \dot{y}_B = -3\,\mathrm{m/s}$ 負號表示向下之座標 $y_B$ 隨時間縮短，即物體 $B$ 之運動方向為垂直向上。 $\vec{v}_B = 3\,\mathrm{m/s}\;(\uparrow) = 3\hat{j}\,\mathrm{m/s}$

步驟二：求繩索 $D$ 點的速度 $\vec{v}_D$

1. 繩索為不可伸長體，當物體 $A$ 以 $6\,\mathrm{m/s}$ 向左拉動繩索時，整條繩索通過定滑輪的流動線速率均為 $6\,\mathrm{m/s}$。
2. 點 $D$ 位於定滑輪與動滑輪之間的垂直段繩索上。
3. 隨著物體 $A$ 向左牽引，該垂直段繩索質點正朝定滑輪方向流動，故其運動方向垂直向上。

核心觀念

本題屬於材料力學中的「桿件變形諧和與應變幾何關係」（Compatibility of Deformations）。解題關鍵在於利用結構的對稱性與微小變形理論建立位移與應變的幾何關係，毋須進行靜力平衡求解或求解靜不定力：

1. 結構對稱性與節點位移： 三根桿件於 $D$ 點交會，外側兩斜桿 $AD$ 與 $CD$ 幾何對稱，中央 $BD$ 桿件垂直配置。當承受通過對稱軸的垂直外力 $P$ 作用時，由對稱性可知節點 $D$ 僅產生垂直向下的位移 $\Delta$，水平位移為零（$\Delta_h = 0$）。
2. 微小變形假設與投影定理： 在微小位移假設下，任一鉸接桿件的軸向伸長量等於其移動端點之位移向量在該桿件軸線方向上的投影量。
3. 正應變（Normal Strain）定義： 軸向應變定義為單位長度的伸長量： $\epsilon = \frac{\Delta L}{L}$

解題方法

步驟一：分析節點位移

設節點 $D$ 承受垂直向下之外力 $P$ 後，產生向下之垂直位移 $\Delta$。 因整體結構與載重皆對稱於通過 $BD$ 桿之垂直軸線，故節點 $D$ 無水平位移： $\boldsymbol{\delta}_D = (0, -\Delta)$

步驟二：推導各桿件的原長關係

設中央垂直桿 $BD$ 的原長為 $L_{BD} = h$。 由支承點 $A, B, C$ 位於同一水平面之幾何關係，斜桿 $CD$ 與水平線之夾角為 $\alpha = 60^\circ$，其垂直高度亦為 $h$： $h = L_{CD} \sin \alpha$ 故斜桿 $CD$ 之原長為： $L_{CD} = \frac{L_{BD}}{\sin \alpha} = \frac{L_{BD}}{\sin 60^\circ}$

步驟三：推導各桿件的伸長量（變形量）

1. 垂直桿 $BD$ 的伸長量： 節點 $D$ 之垂直位移直接造成 $BD$ 桿件沿其軸線伸長： $\Delta L_{BD} = \Delta$

2. 斜桿 $CD$ 的伸長量： 斜桿 $CD$ 與水平方向夾角為 $\alpha = 60^\circ$，則其與垂直方向（位移 $\Delta$ 方向）的夾角為 $90^\circ - \alpha = 30^\circ$。 依據微小變形投影原理，節點 $D$ 向下位移 $\Delta$ 投影至 $CD$ 桿件軸線方向之分量即為其伸長量： $\Delta L_{CD} = \Delta \cos(90^\circ - \alpha) = \Delta \sin \alpha = \Delta \sin 60^\circ$

步驟四：建立應變之間的幾何關係式

將伸長量與原長代入應變定義：

• 垂直桿 $BD$ 之應變： $\epsilon_{BD} = \frac{\Delta L_{BD}}{L_{BD}} = \frac{\Delta}{L_{BD}}$
• 斜桿 $CD$ 之應變：