107 原住民特考三等 土木工程 測量學 考古題詳解

核心觀念

本題評量全測站儀（Total Station）的幾何軸系結構、系統性儀器誤差之抵消原理，以及工程實務中​「精度需求與經濟效益權衡（Accuracy vs. Economy）」​的觀測策略。

1. 儀器三軸幾何關係：

• 垂直軸（豎軸，$V-V$）：儀器水平旋轉軸，理想狀態應嚴格鉛垂。
• 水平軸（橫軸，$H-H$）：望遠鏡俯仰旋轉軸，理想狀態應垂直於豎軸（$H \perp V$）。
• 視準軸（視線，$Z-Z$）：物鏡光心與十字絲交點之連線，理想狀態應垂直於橫軸（$Z \perp H$）。

2. 正倒鏡觀測原理：

• 正鏡（盤左，Face Left, FL）：垂直度盤位於觀測者左側。
• 倒鏡（盤右，Face Right, FR）：望遠鏡縱轉 $180^\circ$、照準儀水平旋轉 $180^\circ$，垂直度盤位於觀測者右側。
• 若儀器幾何軸系存在固定幾何偏差，正鏡與倒鏡的讀數偏差量大小相等、符號相反，藉由正倒鏡觀測值取平均值，可消除該類對稱性系統誤差。

3. 實務作業準則：依測量作業規範，高階控制點測量必須採用正倒鏡（測回法）觀測；但在精度要求較寬鬆或講求高工效之場合，可採單鏡觀測。

解題方法

本題為典型申論題，作答時切入架構如下：

1. 第 1 小題（不以正倒鏡觀測之時機）： 從「測量作業類型與精度需求」、「工效與經濟成本」、「現代儀器軟硬體功能」及「特殊作業環境」四個維度切入。說明何時「容許」或「必須」採用單鏡（通常為正鏡）觀測。
2. 第 2 小題（正倒鏡可消除之儀器誤差）： 依「水平角觀測」與「垂直角觀測」分類列舉，並寫出各誤差之幾何影響公式，證明正倒鏡取平均為何能數學消除該誤差；同時補充「無法消除之誤差」，凸顯觀念之完整性。

選項分析

本題為申論題，無選項。答題應分點列項、論理周詳，切忌以口語簡答。

解題技巧

1. 口訣記憶法：

• 正倒鏡可消除（視、橫、指）：視準軸誤差、橫軸傾斜誤差、垂直度盤指標差（外加部分偏心差與調焦晃動差）。
• 正倒鏡無法消除（豎、分）：豎軸傾斜誤差、度盤分劃誤差。此二者為國考極高頻的陷阱題，答題時順帶點出「無法消除豎軸誤差」，能大幅提高閱卷給分意願。

2. 數學公式佐證： 在申論題中寫出行內誤差影響公式（如 $c \sec \alpha$ 與 $i \tan \alpha$），能將答題層次從「記憶型」提升為「推導論證型」。

【答案】

一、不以正倒鏡觀測的可能時機

在土木測量實務中，未採用正倒鏡觀測（即僅採單鏡／正鏡觀測）的常見時機與成因如下：

1. 進行碎部測量與地物地形測繪時： 利用輻射法測設大量地形特徵點、地物界址或等高線高程點時，點位數量龐大且圖根精度要求相對較低（通常為公分級）。單鏡觀測可節省至少一半以上的野外測照時間，符合「精度足以滿足成圖比例尺」之經濟原則。
2. 一般土木施工放樣作業： 在開挖線、路基填挖方、管線埋設、擋土牆等非精密結構放樣時，規範容許誤差較寬（例如 $\pm 10\text{ mm} \sim \pm 20\text{ mm}$）。為求施工配合之即時性，測量員常直接以單鏡模式進行連續測設點位。
3. 現代全測站儀內部具備雙軸傾斜補償與感測校正時： 現代全測站儀出廠前或作業前若已完成完整軸系校準，並啟動內建的雙軸電子傾斜補償器（Dual-axis Compensator）​及軟體誤差改正功能（能即時在微電腦中自動修正視準軸與指標差偏差量），在短距離或一般精度工程中，單鏡顯示值已包含內部校正，使得實務上常省略倒鏡觀測。

核心觀念

本題考查路線工程測量中等長對稱二次拋物線豎曲線（Symmetrical Parabolic Vertical Curve）之幾何幾何計算與路基挖填方研判，涵蓋以下核心觀念與公式：

1. 基本要素與對稱性：

• 豎曲線設計長度為 $L$，變坡點（Point of Vertical Intersection, $\mathrm{PVI}$）位於曲線中央。
• 起點（Beginning of Vertical Curve, $\mathrm{BVC}$）樁號：$\mathrm{Sta}_{\mathrm{BVC}} = \mathrm{Sta}_{\mathrm{PVI}} - \frac{L}{2}$
• 終點（End of Vertical Curve, $\mathrm{EVC}$）樁號：$\mathrm{Sta}_{\mathrm{EVC}} = \mathrm{Sta}_{\mathrm{PVI}} + \frac{L}{2}$
• 切線高程推算： $\mathrm{Elev}_{\mathrm{BVC}} = \mathrm{Elev}_{\mathrm{PVI}} - g_1 \cdot \frac{L}{2}$ $\mathrm{Elev}_{\mathrm{EVC}} = \mathrm{Elev}_{\mathrm{PVI}} + g_2 \cdot \frac{L}{2}$ 其中 $g_1$ 為前坡坡度（上坡為正），$g_2$ 為後坡坡度（下坡為負）。

2. 二次拋物線高程方程式： 以 $\mathrm{BVC}$ 為原點（$x=0$），曲線上任一點距 $\mathrm{BVC}$ 水平距為 $x$（$0 \le x \le L$），其設計高程 $y(x)$ 公式為： $y(x) = \mathrm{Elev}_{\mathrm{BVC}} + g_1 x + \frac{g_2 - g_1}{2L} x^2$ 式中變坡率 $r = \frac{g_2 - g_1}{L}$。

3. 最高點（或最低點）之條件： 拋物線頂點斜率為零，即一階導數為零： $\frac{dy}{dx} = g_1 + \frac{g_2 - g_1}{L} x = 0 \implies x_{\mathrm{max}} = \frac{-g_1 L}{g_2 - g_1} = \frac{g_1 L}{g_1 - g_2}$ 頂點設計高程可代回曲線方程式，亦可簡化為： $y(x_{\mathrm{max}}) = \mathrm{Elev}_{\mathrm{BVC}} + \frac{1}{2} g_1 x_{\mathrm{max}} = \mathrm{Elev}_{\mathrm{BVC}} + \frac{g_1^2 L}{2(g_1 - g_2)}$

4. 挖填方判別準則：

• 施工高差 $\Delta h = \text{現地高程} - \text{設計高程}$
• 若 $\Delta h > 0$（現地高於設計路面）：須削去土壤，為挖方（Cut），高度為 $\Delta h$。
• 若 $\Delta h < 0$（現地低於設計路面）：須填補土石，為填方（Fill），高度為 $|\Delta h|$。

解題方法

已知條件整理：

• 豎曲線設計長度 $L = 500\text{ m}$，半長 $\frac{L}{2} = 250\text{ m}$
• 前坡度 $g_1 = +0.6\% = +0.006$
• 後坡度 $g_2 = -0.5\% = -0.005$
• 變坡點樁號 $\mathrm{Sta}_{\mathrm{PVI}} = 20\mathrm{K}+180$
• 變坡點高程 $\mathrm{Elev}_{\mathrm{PVI}} = 325.70\text{ m}$

一、計算豎曲線起點（$\mathrm{BVC}$）與終點（$\mathrm{EVC}$）

1. 起點（$\mathrm{BVC}$）：

• 樁號： $\mathrm{Sta}_{\mathrm{BVC}} = (20\mathrm{K}+180) - 250\text{ m} = 19\mathrm{K}+930$
• 設計高程： $\mathrm{Elev}_{\mathrm{BVC}} = 325.70 - (+0.006 \times 250) = 325.70 - 1.50 = 324.20\text{ m}$

2. 終點（$\mathrm{EVC}$）：

• 樁號： $\mathrm{Sta}_{\mathrm{EVC}} = (20\mathrm{K}+180) + 250\text{ m} = 20\mathrm{K}+430$
• 設計高程：

核心觀念

本題考查土木工程測量學中利用「等高線法（水平斷面法）」計算土丘土方體積之應用。

計算整體土方時，須將土體拆分為兩個部分：

1. 主體分層部分（高程 $900\text{ m} \sim 980\text{ m}$）：為連續封閉等高線所包圍的稜台體，等高距 $h = 20\text{ m}$。常用計算公式有二：

• 平均斷面法（梯形法，Trapezoidal Method）：工程上最通用，公式為： $V = h \left[ \frac{A_1 + A_n}{2} + A_2 + A_3 + \dots + A_{n-1} \right]$
• 擬稜柱法（辛普森法，Prismoidal / Simpson's Method）：當斷面數為奇數（即區間數為偶數）時適用，精度較高，公式為： $V = \frac{h}{3} \left[ A_1 + 4(A_2 + A_4 + \dots) + 2(A_3 + A_5 + \dots) + A_n \right]$

2. 頂端尖峰部分（高程 $980\text{ m} \sim 990\text{ m}$）：最高點為一孤立頂點，面積 $A_{990} = 0\text{ m}^2$，高差 $h' = 990 - 980 = 10\text{ m}$。頂端幾何形狀視為錐體（角錐或圓錐），依錐體公式計算： $V_{\text{top}} = \frac{1}{3} A_{\text{base}} \times h'$

解題方法

步驟一：計算主體部分土方（高程 $900\text{ m} \sim 980\text{ m}$）

等高距 $h = 20\text{ m}$，已知各層等高線面積如下：

• $A_{900} = 9230\text{ m}^2$
• $A_{920} = 5040\text{ m}^2$
• $A_{940} = 2565\text{ m}^2$
• $A_{960} = 1278\text{ m}^2$
• $A_{980} = 304\text{ m}^2$

方法一：平均斷面法（梯形法，工程考試標準解法） 各相鄰層間體積為：

• $V_{900-920} = \dfrac{9230 + 5040}{2} \times 20 = 142,700\text{ m}^3$
• $V_{920-940} = \dfrac{5040 + 2565}{2} \times 20 = 76,050\text{ m}^3$
• $V_{940-960} = \dfrac{2565 + 1278}{2} \times 20 = 38,430\text{ m}^3$
• $V_{960-980} = \dfrac{1278 + 304}{2} \times 20 = 15,820\text{ m}^3$

主體總土方： $V_{900-980} = 142,700 + 76,050 + 38,430 + 15,820 = 273,000\text{ m}^3$

方法二：擬稜柱法（辛普森法） 斷面數共 5 個（區間數為 4，為偶數），符合辛普森第一公式之條件：

核心觀念

本題為測量學中典型的幾何三角形前方交會（Intersection）與坐標計算問題，涵蓋以下核心觀念與公式：

1. 坐標反算（Inverse Computation）： 已知兩點坐標 $(X_1, Y_1)$ 與 $(X_2, Y_2)$，求其距離 $S$ 與方位角 $\phi$：

• 坐標差：$\Delta X = X_2 - X_1$、$\Delta Y = Y_2 - Y_1$
• 邊長公式：$S = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2}$
• 象限角 $\theta = \arctan\left(\left|\frac{\Delta X}{\Delta Y}\right|\right)$，方位角 $\phi$ 依 $\Delta X$ 與 $\Delta Y$ 之正負號判定所在象限（坐標系統以北為 $Y$ 軸正向、東為 $X$ 軸正向，方位角自北順時針起算）。

2. 三角形內角幾何條件平差（Geometric Condition Adjustment）： 三角形內角和之理論值為 $180^\circ 00' 00''$。

• 角度閉合差：$w = (\alpha + \beta + \gamma) - 180^\circ$
• 各角觀測精度相同時，採平均分配更正數：$v = -\frac{w}{3}$
• 平差角：$\alpha' = \alpha + v$、$\beta' = \beta + v$、$\gamma' = \gamma + v$

3. 正弦定理（Law of Sines）： 在平差後之平面三角形中，利用已知基線長 $S_{AB}$ 求未知邊長： $\frac{S_{AB}}{\sin \gamma'} = \frac{S_{BC}}{\sin \alpha'} = \frac{S_{AC}}{\sin \beta'}$

4. 方位角推算與坐標正算（Forward Computation）：

• 方位角推算：依測站前進方向與內角轉向關係，推算未知點之方位角。
• 坐標正算： $X_C = X_{\text{已知}} + S \cdot \sin \phi$ $Y_C = Y_{\text{已知}} + S \cdot \cos \phi$

解題方法

步驟一：計算 $A$ 至 $B$ 之邊長 $S_{AB}$ 與方位角 $\phi_{AB}$

已知坐標：

• $A(X_A, Y_A) = (175500.000\text{ m},\ 2517000.000\text{ m})$
• $B(X_B, Y_B) = (174900.000\text{ m},\ 2516200.000\text{ m})$

計算坐標差： $\Delta X_{AB} = X_B - X_A = 174900.000 - 175500.000 = -600.000\text{ m}$ $\Delta Y_{AB} = Y_B - Y_A = 2516200.000 - 2517000.000 = -800.000\text{ m}$

計算基準線長 $S_{AB}$： $S_{AB} = \sqrt{(-600.000)^2 + (-800.000)^2} = \sqrt{360000 + 640000} = 1000.000\text{ m}$

計算方位角 $\phi_{AB}$：

• 象限角： $\theta = \arctan\left(\left|\frac{\Delta X_{AB}}{\Delta Y_{AB}}\right|\right) = \arctan\left(\frac{600.000}{800.000}\right) = \arctan(0.75) = 36^\circ 52' 11.63''$
• 因 $\Delta X_{AB} < 0$ 且 $\Delta Y_{AB} < 0$，直線位於第三象限（南西象限）： $\phi_{AB} = 180^\circ + \theta = 180^\circ + 36^\circ 52' 11.63'' = 216^\circ 52' 11.63'' \approx 216^\circ 52' 12''$
• 反方位角 $\phi_{BA}$： $\phi_{BA} = \phi_{AB} - 180^\circ = 36^\circ 52' 11.63'' \approx 36^\circ 52' 12''$

步驟二：三角形內角觀測值條件平差

觀測值總和： $\sum = \alpha + \beta + \gamma = 55^\circ 20' 35'' + 69^\circ 15' 40'' + 55^\circ 23' 15'' = 179^\circ 59' 30''$

角度閉合差： $w = 179^\circ 59' 30'' - 180^\circ 00' 00'' = -30''$

各角等權分配更正數： $v = -\frac{w}{3} = -\frac{-30''}{3} = +10''$

平差後內角： $\alpha' = \alpha + 10'' = 55^\circ 20' 45''$ $\beta' = \beta + 10'' = 69^\circ 15' 50''$ $\gamma' = \gamma + 10'' = 55^\circ 23' 25''$ 檢核：$\alpha' + \beta' + \gamma' = 180^\circ 00' 00''$，閉合正確。

步驟三：應用正弦定理計算三角形未知邊長

利用正弦定理：