108 原住民特考三等 土木工程 測量學 考古題詳解

核心觀念

1. 逐差水準測量（Differential Leveling）：又稱「直接水準測量」或「連續水準測量」。當測區兩點相距較遠、高低起伏較大或兩點間視線受阻，無法於單一儀器測站直接測得兩點間高差時，在兩點間沿測線設置若干個臨時標高變換點——轉點（Turning Point, TP），將總路線分割為若干連續測站，連續進行後視與前視讀數，累加各站高差以推算未知點高程。
2. 高差計算基本公式：

• 單站高差：$\Delta h_i = BS_i - FS_i$（後視讀數減前視讀數）
• 總高差：$\Delta h_{AB} = \sum BS - \sum FS$
• 終點高程：$H_B = H_A + \sum BS - \sum FS$

3. 品質檢核三大層次：

• 外業操作檢核：前後視距等長控制（消除儀器誤差與球差折光差）、雙儀高法或雙轉點法。
• 內業計算檢核（算術檢核／頁校）：驗證野外手簿數據加減運算有無訛誤。
• 網形閉合差檢核（精度評定）：利用附合、閉合或往返水準路線，依據規範之容許閉合差公式（$E_{\max} = \pm C\sqrt{K}$）評定成果等級。

---

解題方法

一、何謂逐差水準測量？

1. 定義與適用時機： 逐差水準測量係利用水準儀提供之水平視線，配合立於測點上之水準標尺，藉由在起迄點間連續安置儀器、變換測站與轉點，逐站測定相鄰點間之高差，進而推算待測點高程之測量方法。適用於高程基準傳遞、道路工程縱橫斷面測量及長距離高程控制網建立。
2. 作業原理與推導： 設已知高程點為 $A$（高程 $H_A$），待求高程點為 $B$。於 $A$、$B$ 間設置 $n-1$ 個轉點（$TP_1, TP_2, \dots, TP_{n-1}$），形成 $n$ 個測站：

• 第 1 站：後視 $A$ 點尺得 $BS_1$，前視 $TP_1$ 尺得 $FS_1$，高差 $\Delta h_1 = BS_1 - FS_1$。
• 第 2 站：後視 $TP_1$ 尺得 $BS_2$，前視 $TP_2$ 尺得 $FS_2$，高差 $\Delta h_2 = BS_2 - FS_2$。
• 依此類推，第 $n$ 站：後視 $TP_{n-1}$ 尺得 $BS_n$，前視 $B$ 點尺得 $FS_n$，高差 $\Delta h_n = BS_n - FS_n$。 將各站高差累加，得總高差： $\Delta h_{AB} = \sum_{i=1}^n \Delta h_i = \sum_{i=1}^n BS_i - \sum_{i=1}^n FS_i$ 待測點 $B$ 之高程即為： $H_B = H_A + \Delta h_{AB} = H_A + (\sum BS - \sum FS)$

---

二、如何檢核逐差水準測量品質？

水準測量品質檢核必須從「外業觀測過程」、「內業計算紀錄」與「終局成果精度」三個面向循序檢核：

1. 外業施測中的過程檢核（粗差與系統誤差防範）：

• 前後視距等長原則：各測站之後視距離 $S_{BS}$ 與前視距離 $S_{FS}$ 須盡量對稱相等（即 $\sum S_{BS} \approx \sum S_{FS}$）。此法可有效消除水準儀視準軸誤差（$i$ 角誤差）、地球曲率差（$C$）以及大氣折光差（$R$）。
• 雙儀高法（Two-Instrument Height Method）：在同一測站完成後視與前視讀數後，人為改變儀器高度（上升或下降 $10\text{ cm}$ 以上）重新觀測一次；兩次測得之高差不符值若在限差內（通常為 $2\sim 3\text{ mm}$），取平均值作為該站成果，防止標尺讀數粗差。
• 雙轉點法（Double Turning Point Method）：每一測站同時設置兩條獨立轉點路線（左線與右線），兩線高差同步推進比對。
• 轉點穩固性：轉點必須使用尺墊（Footplate）或打入穩固木樁，避免標尺在變換儀器測站時下沉產生系統性誤差。

2. 內業手簿計算檢核（算術檢核／頁校 Page Check）： 於水準手簿每頁結算或全線完成後，執行基本算術平衡檢核： $\sum BS - \sum FS = \sum \Delta h = H_{\text{終}} - H_{\text{起}}$

核心觀念

1. 子午線弧長與地球半徑幾何關係 本題源自古典大地測量學之「埃拉托斯特尼（Eratosthenes）子午線弧長測量法」。若將地球視為圓球，同子午線上兩點於各自正午時觀測太陽之天頂距差或仰角差，即等於該兩點對球心所張之圓心角 $\theta$。弧長 $S$、圓球半徑 $R$ 與圓心角 $\theta$（以弧度 $\text{rad}$ 為單位）之幾何關係為： $S = R \cdot \theta \implies R = \frac{S}{\theta}$

2. 非線性函數之誤差傳播定律（Error Propagation Law） 設 $R = f(S, \theta)$，當觀測量 $S$ 與 $\theta$ 彼此獨立（共變異數 $\sigma_{S\theta} = 0$）時，由一階泰勒展開式可得 $R$ 之標準偏差 $\sigma_R$ 公式： $\sigma_R^2 = \left( \frac{\partial R}{\partial S} \right)^2 \sigma_S^2 + \left( \frac{\partial R}{\partial \theta} \right)^2 \sigma_\theta^2$ 對於商數形式 $R = \frac{S}{\theta}$，亦可改寫為相對誤差平方和形式計算： $\left( \frac{\sigma_R}{R} \right)^2 = \left( \frac{\sigma_S}{S} \right)^2 + \left( \frac{\sigma_\theta}{\theta} \right)^2$

---

解題方法

步驟一：角度單位轉換

將仰角差 $\theta$ 及其標準偏差 $\sigma_\theta$ 統一化為角秒（$''$）或弧度（$\text{rad}$）：

• 弧度換算常數： $\rho'' = \frac{180^\circ \times 3600''}{\pi} \approx 206264.81''$
• 觀測之仰角差 $\theta$： $\theta = 1^\circ 47' 48'' = 1 \times 3600'' + 47 \times 60'' + 48'' = 6468''$ 化為弧度： $\theta = \frac{6468''}{\rho''} = \frac{6468''}{206264.81''} \approx 0.03135775\text{ rad}$
• 仰角差之標準偏差 $\sigma_\theta$： $\sigma_\theta = 5''$

步驟二：計算圓球半徑最或然值 $\hat{R}$

將弧長 $S = 200.00\text{ km}$ 及弧度值 $\theta$ 帶入半徑公式： $\hat{R} = \frac{S}{\theta} = \frac{200.00\text{ km}}{0.03135775\text{ rad}} \approx 6377.9934\text{ km}$ 依題目要求取至小數點後二位（$0.01\text{ km}$）： $\hat{R} \approx 6377.99\text{ km}$

核心觀念

本題評量全測站儀（Total Station）的「軸系幾何誤差理論」、「雙軸補償器（Dual-Axis Compensator）之物理運作機制」，以及「正倒鏡（盤左、盤右）觀測法之消除誤差原理」。

1. 經緯儀／全測站儀之理想軸系幾何關係：

• 垂直軸（鉛直軸）$V-V$ 應垂直於水準管軸 $L-L$（且平行於重力鉛垂線方向）。
• 橫軸（水平軸）$H-H$ 應垂直於垂直軸 $V-V$。
• 視準軸（照準軸）$C-C$ 應垂直於橫軸 $H-H$。

2. 正倒鏡觀測消除誤差之原理： 正倒鏡觀測（望遠鏡縱轉 $180^\circ$ 且照準部水平旋轉 $180^\circ$）取平均值，僅能消除「因儀器各機械幾何軸系互不垂直所產生的反向對稱系統誤差」，以及「度盤指標差與度盤偏心差」。對於「垂直軸傾斜誤差（整平殘餘誤差）」，正倒鏡觀測無法消除。
3. 雙軸補償器之修正原理： 利用內部雙向液體或光電感測器，即時量測垂直軸相對於重力鉛垂線之微小傾角（縱向傾角 $t_x$ 與橫向傾角 $t_y$），依幾何數學模式即時數值修正觀測值。其所針對的物理量為「儀器整平殘餘誤差」，而非「機械軸系間的正交幾何誤差」。

---

解題方法

一、全測站雙軸補償之功能

全測站儀之雙軸補償器（Dual-Axis Compensator）係利用內建之感測元件（如光電液面反射式感應器），即時感測儀器「垂直軸」（鉛直軸）在正交之兩個方向相對於「重力鉛垂線」的偏離傾角：

• $t_x$：視線方向（縱向）之垂直軸傾角。
• $t_y$：橫軸方向（橫向／側向）之垂直軸傾角。

其具體功能涵蓋以下三項：

1. 垂直角補償（縱向傾斜修正）： 當垂直軸在視線方向發生縱向傾斜 $t_x$ 時，會直接造成垂直度盤指標位置偏離鉛垂基準。雙軸補償器量測 $t_x$ 後，微處理器自動於垂直角讀數加上修正量 $\Delta V = -t_x$，取代傳統光學經緯儀手動調整垂直盤指標水準管之程序，確保垂直角（或天頂距）讀數始終以真實鉛垂線為起算基準。
2. 水平角補償（橫向傾斜修正）： 當垂直軸在橫軸方向發生橫向傾斜 $t_y$ 時，將連帶導致橫軸傾斜，使得望遠鏡旋轉面偏離鉛垂面，進而引起水平方向角讀數誤差 $\Delta H$： $\Delta H = t_y \cdot \cot z = t_y \cdot \tan \alpha$ 式中，$z$ 為目標天頂距，$\alpha$ 為仰俯角。雙軸補償器即時偵測 $t_y$，依上式自動計算並即時修正水平度盤讀數。仰角愈大時，$\tan \alpha$ 愈大，此補償功能對高仰角或深俯角觀測尤為顯著。
3. 輔助整平與超限警示： 將雙軸傾斜量以數位圖形（電子氣泡）顯示於螢幕上，輔助觀測者快速且精確整平；當儀器傾斜超出補償器工作範圍（通常約為 $\pm 3' \sim \pm 6'$）時，儀器會自動鎖定讀數並發出警示，防止劣質數據產出。

---

二、具備雙軸補償功能是否能消除正倒鏡觀測所欲移除之誤差？具體理由說明

結論：否，具備雙軸補償功能「不能」消除正倒鏡觀測所欲移除之誤差。

具體理由如下：

1. 兩者消除之誤差物理本質與來源截然不同：

• 正倒鏡觀測所消除的誤差：主要為儀器內部機械加工與裝配引起的「內部幾何軸系不垂直度誤差」以及「刻劃指標誤差」，包含：
• 視準軸誤差（$c$）：視準軸不垂直於橫軸（$C-C \not\perp H-H$）。在水平角觀測中，正鏡誤差為 $+c \cdot \csc z$，倒鏡為 $-c \cdot \csc z$，正倒鏡平均可完全消除。
• 橫軸誤差（$i$）：橫軸不垂直於垂直軸（$H-H \not\perp V-V$）。在水平角觀測中，正鏡誤差為 $+i \cdot \cot z$，倒鏡為 $-i \cdot \cot z$，正倒鏡平均可完全消除。
• 垂直盤指標差（$i_z$）：垂直度盤歸零偏差，正倒鏡垂直角相加平均可完全消除。
• 雙軸補償器所修正的誤差：僅限於儀器外部架設引起的「垂直軸傾斜誤差（整平殘餘誤差）」。此誤差係指垂直軸 $V-V$ 未能嚴格重合於重力鉛垂線。

2. 正倒鏡觀測本身「無法」消除垂直軸傾斜誤差： 當垂直軸相對於重力方向傾斜時，儀器在空間中的傾斜方向是固定的。

核心觀念

本題旨在測驗衛星定位測量（GNSS）中差分定位（Differential GNSS, DGNSS / 相對定位 Relative Positioning）​的理論基礎、作業技術與外業品管要點。核心考核概念如下：

1. 誤差之空間相關性（Spatial Correlation）與消去機制： 在相距不遠的兩個測站，GNSS 訊號受到的衛星端誤差（衛星鐘差、衛星星曆誤差）與傳播路徑誤差（電離層延遲、對流層延遲）具有高度空間相關性。透過在兩站間進行觀測量求差，可大幅消除或削弱此類公共誤差。
2. 差分觀測方程式之層次：

• 單差（Single Difference, SD）：兩測站觀測同一衛星，消除衛星鐘差。
• 雙差（Double Difference, DD）：兩測站同步觀測兩顆衛星，進一步消除接收儀鐘差，並固定整數未知數（Integer Ambiguity）。
• 三差（Triple Difference, TD）：不同曆元間之雙差相減，消除整數未知數，常用於偵測與修復週波跳躍（Cycle Slip）。

3. 定位精度本質躍升： 單點定位（Absolute Positioning）僅能求得公尺級絕對坐標；差分定位則是求取兩站間的高精度基線向量（Baseline Vector, $\Delta X, \Delta Y, \Delta Z$），精度可達公分級至毫米級。

---

解題方法

本題為典型的申論問答題，題目包含三個子問題，作答必須切中命題核心、分點分項條理呈現：

一、衛星定位測量採用差分法的用意

1. 消除與削弱公共誤差（Common Errors）：

• 完全消除：衛星鐘差（Satellite Clock Bias）、接收儀鐘差（Receiver Clock Bias）。
• 大幅削弱：衛星軌道星曆誤差（Ephemeris Error）、電離層折射延遲（Ionospheric Delay）、對流層折射延遲（Tropospheric Delay）。

2. 克服選擇可用性（SA）與單點定位誤差限制： 在早期美國實施 SA 干擾時期，單點定位誤差超過 $100\text{ m}$，差分法可將其壓制至數公尺；在 SA 取消後，差分法仍是消除自然大氣延遲與衛星微小鐘差星曆漂移的唯一高精度解方。
3. 將絕對定位轉化為高精度基線向量： 利用已知高精度坐標的「基準站（Base Station）」，藉由求差解算基線向量，將定位精度由傳統碼相位單點定位的公尺級（$1 \sim 5\text{ m}$），提升至載波相位差分的公分級甚至毫米級（$1\text{ cm} + 1\text{ ppm}\times D$），滿足控制測量、工程測設與地形測量等法規要求。

二、差分法在操作上的分類方式

差分定位依不同維度可區分如下：

1. 依使用的觀測量分類：

• 虛擬距離碼差分（Code-based DGPS）：以 C/A 碼或 P 碼的虛擬距離為基礎。基準站計算虛擬距離改正數（PRC）傳送給流動站，定位精度約在 $0.5 \sim 3\text{ m}$，常用於導航、地理資訊系統（GIS）圖資採集。
• 載波相位差分（Carrier Phase-based DGPS / CDGPS）：利用載波相位進行雙差解算並求解整數未知數，定位精度可達毫米至公分級，土木工程控制測量與施工放樣均採用此法。

2. 依資料處理時效分類：

• 事後差分（Post-Processing）：外業同時記錄觀測 raw data，內業再透過基線解算軟體進行差分解算與網形平差（如靜態控制測量）。
• 即時差分（Real-Time）：基準站透過數據傳輸鏈路（無線電 UHF、4G/5G 網路）即時發送改正訊息（RTCM 格式）至流動站，即時解算出高精度坐標（如 RTK 測量）。

3. 依外業作業作業模式分類：

• 靜態相對定位（Static Positioning）：兩站或多站長時間（如 1 小時以上）共時觀測，精度最高（可達數毫米），用於一、二等國家測量控制網或精密變形監測。
• 快速靜態定位（Fast / Rapid Static）：觀測時間約 $10 \sim 20$ 分鐘，適用於短基線（$< 10 \sim 15\text{ km}$）圖根點與控制點測量。
• 即時動態定位（Real-Time Kinematic, RTK）：單一基準站配合流動站即時獲取公分級坐標，作業機動性最高。
• 網路型即時動態定位（Network RTK / e-GPS）：利用連續衛星追蹤站網（CORS），透過虛擬參考站（VRS）或面性改正參數（FKP）技術，擴大有效差分作業範圍。

三、差分操作需要注意的條件

1. 空間與基線長度條件（基線長度限制）： 差分消除大氣與軌道誤差的假設建立在「空間相關性」上。基線過長（如超過 $20 \sim 30\text{ km}$），兩站頂空大氣條件差異增大，大氣殘差無法有效消除，導致整數未知數無法正確固定（Fixed），測量精度隨距離 $D$ 衰減。
2. 共時與共星條件（Simultaneous Observation）： 差分運算本質要求基準站與流動站必須在「同一個曆元（Epoch）」內，同步接收到「同一組衛星」的訊號（通常至少需 4 至 5 顆共同健康衛星），且取樣頻率（Sampling Interval）需相互匹配。
3. 基準站已知坐標之精度與可靠度： 差分定位獲取的是相對向量 $(\Delta X, \Delta Y, \Delta Z)$，流動站絕對坐標直接等於基準站坐標加上基線向量。