108 原住民特考三等 土木工程 土壤力學（包括基礎工程） 考古題詳解

108 年・原住民特考・三等・土木工程
試題代碼 土壤力學（包括基礎工程）

第 一 題25 分

依圖一所示條件，水平土柱截面積為 100 cm2100\ \mathrm{cm^2}，回答下列滲流問題：

(一) 說明此配置接近何種實驗室滲透係數量測試驗並說明理由。（5 分）

(二) 三種土壤之滲透係數 kk 分別為：Soil A，k=0.01k=0.01；Soil B，k=0.005k=0.005；Soil C，k=0.0025k=0.0025（單位：cm/s\mathrm{cm/s}），計算此土柱等值滲透係數（單位：cm/s\mathrm{cm/s}）與流率（單位：cm3/hour\mathrm{cm^3/hour}）。（10 分）

(三) 計算圖一中 hAh_A 及 hBh_B 數值並繪製此平行滲流土柱總水頭分布。（10 分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖一條件：土柱由 Soil A、Soil B、Soil C 三層組成，各層厚度均為 150 mm150\ \mathrm{mm}；水頭差 ΔH=300 mm\Delta H=300\ \mathrm{mm}。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考定水頭滲透試驗及多種土壤沿滲流方向串聯時的等值滲透係數。圖中上、下游水位固定，土柱內為穩定滲流；各土層的流量相同，總水頭損失則等於各層水頭損失之和。

依達西定律，單一土層的流量為

q=kAΔhLq=kA\frac{\Delta h}{L}

土層串聯時，等值滲透係數為

keq=L總∑iLikik_{\mathrm{eq}} =\frac{L_{\mathrm{總}}}{\displaystyle\sum_i\frac{L_i}{k_i}}

解題方法

（一）試驗類型

此配置接近定水頭滲透試驗。上、下游水位維持固定，土柱兩端的水頭差固定，水流達穩定後可依量測流量與水頭差計算滲透係數。

（二）等值滲透係數與流率

三段土層沿水流方向串聯，每段長度均為 150 mm=15 cm150\ \mathrm{mm}=15\ \mathrm{cm}，總長度為 45 cm45\ \mathrm{cm}。因此：

keq=45150.01+150.005+150.0025=451500+3000+6000=0.004286 cm/sk_{\mathrm{eq}} =\frac{45}{\frac{15}{0.01}+\frac{15}{0.005}+\frac{15}{0.0025}} =\frac{45}{1500+3000+6000} =0.004286\ \mathrm{cm/s}

總水頭差為 ΔH=300 mm=30 cm\Delta H=300\ \mathrm{mm}=30\ \mathrm{cm}，土柱長度為 45 cm45\ \mathrm{cm}，故水力坡降為

i=ΔHL總=3045=23i=\frac{\Delta H}{L_{\mathrm{總}}} =\frac{30}{45} =\frac{2}{3}

截面積 A=100 cm2A=100\ \mathrm{cm^2}，流率為

q=keqAi=(0.004286)(100)(23)=0.2857 cm3/sq=k_{\mathrm{eq}}Ai =(0.004286)(100)\left(\frac{2}{3}\right) =0.2857\ \mathrm{cm^3/s}

換算為每小時：

q=0.2857(3600)=1028.6 cm3/hourq=0.2857(3600) =1028.6\ \mathrm{cm^3/hour}

（三）hAh_A、hBh_B 與總水頭分布

串聯土層的流量相同，因此各段水頭損失與其水力阻力 Li/kiL_i/k_i 成正比。三段阻力比為

150.01:150.005:150.0025=1:2:4\frac{15}{0.01}:\frac{15}{0.005}:\frac{15}{0.0025} =1:2:4

總水頭損失為 300 mm300\ \mathrm{mm}，故各段水頭損失分別為

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第 二 題25 分

回答下列樁基礎問題：

(一) 條列五種適合使用樁基礎之時機。（5 分）

(二) 列出三類可用以推估打擊式基樁其垂直承載力之方法並說明之。（10 分）

(三) 繪圖說明承受垂直載重單樁其荷重承載機制（load transfer mechanism）。（10 分）

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核心觀念

本題旨在考驗考生對基礎工程中「深基礎（樁基礎）」之基本概念與工程實務應用的掌握度，核心涵蓋三個面向：

  1. 樁基礎之選用條件：探討何時必須由「淺基礎」轉換為「深基礎」，涉及上部結構載重、地層工程性質（軟弱土層、液化、膨脹性）、環境作用力（橫向風力、地震力、浮力拉拔、水流淘刷）等綜合考量。
  2. 打擊式基樁承載力推估方法：推估垂直極限承載力（QuQ_u）之三大體系：
  • 靜力分析法（Static Analysis Methods）：依土壤力學強度參數（c,ϕc, \phi）與有效應力原理推算。
  • 動力分析法（Dynamic Methods）：包含傳統打樁公式（能量守恆原理）與現代波動方程式分析／高應變動試驗（Wave Equation Analysis / PDA）。
  • 靜載重試驗法（Static Load Test, SLT）：現場直接全尺寸加載試驗，為公認最可靠的標準驗證方法。
  1. 單樁垂直荷重承載與傳遞機制（Load Transfer Mechanism）：
  • 樁身軸力平衡與微分關係：dQ(z)dz=−p⋅f(z)\frac{dQ(z)}{dz} = -p \cdot f(z)。
  • 沉陷動員位移特性（Mobilization displacement）：樁側摩擦阻力（Skin friction）與樁端承載力（End bearing）在不同沉陷量下的動員先後順序與分擔比例。

解題方法

本題為純申論與圖解說明題，評分關鍵在於「條理分明、用詞精準、圖實相符」：

  • 第 (一) 子題：針對「時機」，從土層承載力不足、側向外力、上拔力、沖刷水理條件、特殊地質（膨脹／崩陷／液化／負摩擦力）等不同工程情境，條列五點具體狀況，避免同義反覆。
  • 第 (二) 子題：明確劃分「靜力分析法」、「動力公式／波動分析法」、「靜載重試驗法」三大類別。每類皆應點出「力學依據／基本原理」、「常見公式／工具」與「優缺點／適用時機」。
  • 第 (三) 子題：手繪示意圖必須包含兩大部分——「單樁受力與側阻分布圖」與「樁身軸力隨深度遞減曲線圖（Load Distribution Curve）」，並輔以位移相容性說明為何側阻優先動員、端阻落後動員。

選項分析

本題非選擇題，為申論題型，答題時依子題標號循序作答，重點結構詳見下方【答案】。

解題技巧

  1. 五大時機記憶口訣：「弱（軟土層深）、橫（橫向載重）、拔（承受上拔）、刷（河道淘刷）、殊（特殊土質與液化）」。答題時每點先給出清晰小標，再補述一句工程說明，易得滿分。
  2. 打擊樁承載力三大法：注意題目強調「打擊式基樁（Driven Pile）」，因此動力法（打樁公式如 ENR、Gates，以及現代 PDA 動測）為本題核心亮點，不可漏列。
  3. 載重傳遞圖形繪製訣竅：
  • 樁頂軸力為 Qt=QQ_t = Q。
  • 樁身各深度處之軸力為 Q(z)=Qt−∫0zp⋅f(z)dzQ(z) = Q_t - \int_0^z p \cdot f(z) dz。
  • 樁底截面之殘餘軸力即為樁端阻力 QbQ_b（若為純摩擦樁，曲線在樁底收斂至 0；若為端承樁，樁身遞減率小，樁底保留大部分載重）。
  • 務必標示出動員所需位移量級差距：側阻約需 2∼10 mm2 \sim 10\text{ mm}（約樁徑之 0.5%∼1.0%0.5\% \sim 1.0\%）；端阻則需達樁徑之 5%∼15%5\% \sim 15\%（甚至砂土需達 10%∼25%10\% \sim 25\%）。

【答案】

(一) 適合使用樁基礎之五種時機

當淺層地質條件或上部結構受力特徵無法以淺基礎（獨立基腳、聯合基腳或筏式基礎）經濟且安全地承載時，應採用樁基礎：

  1. 淺層地層軟弱，深層存在良好承載層： 地表淺層為厚層軟弱黏土或鬆散填土，其承載力不足且易產生過大總沉陷或不均勻沉陷；此時須藉由樁基將結構重載穿透軟弱層，傳遞至深處堅硬之岩盤或密實砂礫石層（端承樁或長摩擦樁）。
  2. 結構承受巨大之側向力或傾覆力矩： 高層建築、港灣碼頭、擋土結構或橋梁，常承受顯著之風力、地震橫力、土壓力或波浪水流側壓，利用基樁之樁身抗彎剛度與樁側土體側向被動抗力以抵抗橫向載重。
  3. 結構物承受巨大之上拔力（抗拉／抗浮需求）： 地下水位過高之地下室結構（浮力大於自重）、輸電鐵塔基腳（風倒力矩拉拔）、斜張橋之錨碇端或擋土牆之錨拉樁，須利用基樁與周圍土壤之界面摩擦阻抗或基底擴底構造來抵抗上拔力。
  4. 河道水域或易受淘刷（Scour）沖蝕之環境： 跨河或跨海大橋之橋墩，洪水或海流沖刷會使表層一定深度內之土壤流失，淺基礎極易被掏空懸空失穩，必須採用樁基礎深入至預期可能沖刷線（Scour depth）以下之穩定地層。
  5. 地表淺層具有特殊地質災害潛能： 淺層包含易受水分影響產生膨脹或崩陷之土壤（膨脹土／崩陷土）、地震時具有土壤液化潛能之土層，或是回填土產生壓密沉陷而引發「負摩擦力（Negative Skin Friction）」之場址，需以深基礎貫穿該不良影響地層。

(二) 推估打擊式基樁垂直承載力之三類方法及說明

推估打擊式基樁垂直極限承載力（QuQ_u）之方法主要分為以下三類：

1. 靜力分析法（Static Analysis Methods）
  • 基本原理： 利用土壤力學之基本抗剪強度參數（凝聚力 cc、內摩擦角 ϕ\phi）與有效覆土應力（σv′\sigma'_v），將樁的極限承載力拆解為「樁側摩擦阻抗（QsQ_s）」與「樁端承載阻抗（QpQ_p）」之代數和： Qu=Qs+Qp=∑(fs⋅As)+qp⋅ApQ_u = Q_s + Q_p = \sum (f_s \cdot A_s) + q_p \cdot A_p
  • 計算方法：
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第 三 題25 分

回答下列土壤物理性質問題並推導所列公式：

(一) 繪製土壤顆粒體積為一單位之土壤三相圖（three phase diagram），詳細標註其各相之體積及重量。（5 分）

(二) 以(一)之三相圖，證明飽和度 SS 及孔隙比 ee 相乘之值，與重量含水量 ww 及土壤顆粒比重 GsG_s 之相乘值相同。（10 分）

(三) 承(二)，證明

w=S(γwγd−1Gs)w=S\left(\frac{\gamma_w}{\gamma_d}-\frac{1}{G_s}\right)

式中，γw\gamma_w 為水單位重，γd\gamma_d 為乾土單位重。（10 分）

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核心觀念

本題測驗土壤基本物理性質指標（三相比例關係）之定義、三相圖表示法及基本公式推導。 所涉核心物理量與定義如下：

  1. 孔隙比（Void Ratio, ee）：孔隙體積與土粒體積之比值，e=VvVse = \frac{V_v}{V_s}。
  2. 飽和度（Degree of Saturation, SS）：孔隙中水分體積與孔隙體積之比值，S=VwVvS = \frac{V_w}{V_v}。
  3. 重量含水量（Water Content, ww）：水之重量與土粒重量之比值，w=WwWsw = \frac{W_w}{W_s}。
  4. 土壤顆粒比重（Specific Gravity of Soil Solids, GsG_s）：土粒單位重與水單位重之比值，Gs=γsγw=WsVsγwG_s = \frac{\gamma_s}{\gamma_w} = \frac{W_s}{V_s \gamma_w}。
  5. 乾土單位重（Dry Unit Weight, γd\gamma_d）：土粒重量與土壤總體積之比值，γd=WsV\gamma_d = \frac{W_s}{V}。

解題方法

(一) 繪製土壤顆粒體積為一單位（Vs=1V_s = 1）之土壤三相圖

依題意設定基準：令土粒體積 Vs=1V_s = 1。

  1. 體積相（左側）推導：
  • 土粒體積：Vs=1V_s = 1
  • 孔隙體積：Vv=e⋅Vs=eV_v = e \cdot V_s = e
  • 孔隙中水之體積：Vw=S⋅Vv=S⋅eV_w = S \cdot V_v = S \cdot e
  • 孔隙中氣體體積：Va=Vv−Vw=e−S⋅e=e(1−S)V_a = V_v - V_w = e - S \cdot e = e(1 - S)
  • 土壤總體積：V=Vs+Vv=1+eV = V_s + V_v = 1 + e
  1. 重量相（右側）推導：
  • 氣體重量：Wa=0W_a = 0
  • 土粒重量：Ws=γs⋅Vs=(Gsγw)⋅1=GsγwW_s = \gamma_s \cdot V_s = (G_s \gamma_w) \cdot 1 = G_s \gamma_w
  • 水之重量：Ww=γw⋅Vw=S⋅e⋅γwW_w = \gamma_w \cdot V_w = S \cdot e \cdot \gamma_w（亦可表為 wWs=wGsγww W_s = w G_s \gamma_w）
  • 土壤總重量：W=Ws+Ww=Gsγw+Seγw=(Gs+Se)γwW = W_s + W_w = G_s \gamma_w + S e \gamma_w = (G_s + S e)\gamma_w

三相圖標註如下：

 體積 (Volume) 三相圖 (Phase) 重量 (Weight)
 +-----------------+ +-----------------+ +-----------------+
 | Va = e(1 - S) | --- | 氣體 (Air) | --- | Wa = 0 |
 +-----------------+ +-----------------+ +-----------------+
Vv=e | Vw = S·e | --- | 水 (Water) | --- | Ww = S·e·γw |
 +-----------------+ +-----------------+ +-----------------+
 | Vs = 1 | --- | 土粒 (Solid) | --- | Ws = Gs·γw |
 +-----------------+ +-----------------+ +-----------------+
 總體積 V = 1 + e 總重 W = (Gs + S·e)γw

(二) 證明 S⋅e=w⋅GsS \cdot e = w \cdot G_s

由 (一) 之三相圖各相參數：

  1. 水之體積 Vw=S⋅eV_w = S \cdot e，故水重為： Ww=Vw⋅γw=S⋅e⋅γwW_w = V_w \cdot \gamma_w = S \cdot e \cdot \gamma_w
  2. 土粒體積 Vs=1V_s = 1，故土粒重為： Ws=Vs⋅γs=1⋅(Gsγw)=GsγwW_s = V_s \cdot \gamma_s = 1 \cdot (G_s \gamma_w) = G_s \gamma_w
  3. 依據重量含水量之定義： w=WwWsw = \frac{W_w}{W_s}
  4. 將 WwW_w 與 WsW_s 代入定義式： w=S⋅e⋅γwGsγw=S⋅eGsw = \frac{S \cdot e \cdot \gamma_w}{G_s \gamma_w} = \frac{S \cdot e}{G_s}
  5. 等號兩邊同乘 GsG_s，得證：
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第 四 題25 分

一懸臂式擋土牆，其相關參數如圖二及附表所示，其中 KARK_{AR} 及 KPRK_{PR} 為 Rankine 主動與被動土壓力係數，回答下列問題：

(一) 計算每公尺牆背主動土壓力合力之大小（PARP_{AR}）與作用高度（HARH_{AR}），及牆前被動土壓力合力（PPRP_{PR}）及作用高度（HPRH_{PR}）。（10 分）

(二) 計算此擋土牆之抗傾倒（overturning）及滑動（sliding）之安全係數。（15 分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖二及附表資料：

  • 背填土壤：γ=19 kN/m3\gamma=19\ \mathrm{kN/m^3}。
  • 現地土壤：ϕ=25∘\phi=25^\circ，γ=18 kN/m3\gamma=18\ \mathrm{kN/m^3}。
  • 斜坡角：β=10∘\beta=10^\circ。
  • 圖示尺寸：6 m6\ \mathrm{m}、6.5 m6.5\ \mathrm{m}、0.6 m0.6\ \mathrm{m}、0.3 m0.3\ \mathrm{m}、3.7 m3.7\ \mathrm{m}。
  • 牆體及土體重量標示：WCSW_{CS}、WCBW_{CB}、WS1W_{S1}、WS2W_{S2}、WS3W_{S3}。
  • 附表：
WCSW_{CS}（kN/m\mathrm{kN/m}）WCBW_{CB}（kN/m\mathrm{kN/m}）WS1W_{S1}（kN/m\mathrm{kN/m}）WS2W_{S2}（kN/m\mathrm{kN/m}）WS3W_{S3}（kN/m\mathrm{kN/m}）KARK_{AR}KPRK_{PR}
4328300133.50.432.46
🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查 Rankine 主動、被動土壓力合力，以及擋土牆的抗傾倒與抗滑動安全係數。側向土壓力呈三角形分布，因此合力為

P=12KγH2P=\frac12 K\gamma H^2

其作用點在土壓分布底部以上 H/3H/3。抗傾倒安全係數以抵抗力矩除以傾倒力矩；抗滑動安全係數以基底摩擦力與被動土壓力之和除以主動土壓力。

解題方法與土壓合力

依圖採背填土高度 H=6.5 mH=6.5\,\mathrm{m}、牆前被動土深度 h=0.6 mh=0.6\,\mathrm{m}；牆底板厚度為 0.3 m0.3\,\mathrm{m}。下列力矩均以底板前端（趾端）為取矩點。主動土壓力依題給 KARK_{AR} 計算其水平合力。

牆背主動土壓力：

PAR=12KARγH2=12(0.43)(19)(6.5)2=172.59 kN/mP_{AR}=\frac12 K_{AR}\gamma H^2 =\frac12(0.43)(19)(6.5)^2 =172.59\ \mathrm{kN/m} HAR=6.53=2.17 mH_{AR}=\frac{6.5}{3}=2.17\ \mathrm{m}

牆前被動土壓力：

PPR=12KPRγh2=12(2.46)(18)(0.6)2=7.97 kN/mP_{PR}=\frac12 K_{PR}\gamma h^2 =\frac12(2.46)(18)(0.6)^2 =7.97\ \mathrm{kN/m} HPR=0.63=0.20 mH_{PR}=\frac{0.6}{3}=0.20\ \mathrm{m}

HPRH_{PR} 是自被動土壓力分布底部量起的高度；因此被動力對趾端的力臂為 0.3+0.2=0.5 m0.3+0.2=0.5\,\mathrm{m}。

抗傾倒安全係數

依圖示幾何，底板寬 3.7 m3.7\,\mathrm{m}、趾長 0.6 m0.6\,\mathrm{m}、牆身厚 0.3 m0.3\,\mathrm{m}。各重力作用點距趾端如下：

  • WCSW_{CS}：0.6+0.3/2=0.75 m0.6+0.3/2=0.75\,\mathrm{m}
  • WCBW_{CB}：3.7/2=1.85 m3.7/2=1.85\,\mathrm{m}
  • WS1W_{S1}：牆背至底板後端的土體重心，0.6+0.3+2.8/2=2.30 m0.6+0.3+2.8/2=2.30\,\mathrm{m}
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