107 原住民特考三等 土木工程 結構學與鋼筋混凝土學 考古題詳解

核心觀念

1. 桁架靜不定度判定： 平面桁架之靜不定度判別公式為： $i = m + r - 2j$ 其中 $m$ 為桿件數、$r$ 為反力數、$j$ 為節點數。若 $i > 0$，則結構為靜不定桁架，需配合諧合變形條件求解。
2. 力法（柔度法 / 單位力法）： 以贅力（多餘約束力或桿件內力）$X$ 為未知數，解除約束建立靜定基本結構。
3. 諧合變形方程式： 依據虛功原理，解除贅力處之相對位移必須滿足連續條件： $\Delta_{10} + X \cdot f_{11} = 0 \implies X = -\frac{\Delta_{10}}{f_{11}} = -\frac{\sum \dfrac{N_0 u L}{EA}}{\sum \dfrac{u^2 L}{EA}}$ 其中 $N_0$ 為外載重作用於靜定基本結構之桿件內力；$u$ 為在贅力方向施加單位力 $X = 1$ 時所引致之桿件內力；$L$ 為桿長；$EA$ 為軸向勁度。
4. 疊加原理： 各桿件最終內力為： $N_i = N_{0i} + X \cdot u_i$ （符號慣例：拉力為正 $+$，壓力為負 $-$）。

解題方法

因題目文字未載明原卷圖形之幾何尺寸、支承與載重數值，依歷屆公職命題規範，採最標準之一度內部靜不定平面桁架（跨度 $L = 4\text{ m}$、高 $h = 3\text{ m}$，節點為 A、B、C、D；B 為鉸支承、C 為滾支承，底邊 BC 長 $4\text{ m}$，頂邊 AD 長 $4\text{ m}$，立桿 AB、CD 高 $3\text{ m}$，對角斜桿 AC、BD 長 $5\text{ m}$；全桿件具相同 $EA$，於節點 D 承受垂直向下集中載重 $P$）進行定案解析推導。

步驟一：靜不定度判定與選取贅力

• 節點數 $j = 4$（A, B, C, D）。
• 桿件數 $m = 6$（AB, BC, CD, DA, AC, BD）。
• 外反力數 $r = 3$（B 點水平及垂直反力 $R_{Bx}, R_{By}$；C 點垂直反力 $R_{Cy}$）。
• 靜不定度： $i = m + r - 2j = 6 + 3 - 2(4) = 1 \text{（內部一度靜不定）}$
• 選取斜桿 AC 之內力為贅力，設其拉力為 $X$（即令 $N_{AC} = X$）。

步驟二：靜定基本結構在外力作用下之內力（$N_0$ 系統）

將斜桿 AC 切除，形成靜定基本桁架：

1. 整體外反力：

• $\sum M_B = 0 \implies R_{Cy} \times 4 - P \times 4 = 0 \implies R_{Cy} = P \ (\uparrow)$
• $\sum F_y = 0 \implies R_{By} + R_{Cy} - P = 0 \implies R_{By} = 0$
• $\sum F_x = 0 \implies R_{Bx} = 0$

2. 各節點平衡求解 $N_0$：

• 節點 A：僅與桿件 AB、AD 連接，無外力 $\implies N_{0,AB} = 0, \ N_{0,AD} = 0$。
• 節點 D： $\sum F_x = 0 \implies -N_{0,BD}\cos\theta - N_{0,AD} = 0 \implies N_{0,BD} = 0$（其中 $\cos\theta = 4/5 = 0.8$）。 $\sum F_y = 0 \implies -N_{0,CD} - P = 0 \implies N_{0,CD} = -P$（壓力）。
• 節點 C： $\sum F_x = 0 \implies N_{0,BC} = 0$。 $\sum F_y = 0 \implies R_{Cy} + N_{0,CD} = P - P = 0$（平衡）。
• 切除之桿件 AC：$N_{0,AC} = 0$。

步驟三：虛載重系統（$u$ 系統）

在基本結構之切口處沿桿 AC 施加一對單位拉力 $X = 1$（傾角 $\theta$，$\cos\theta = 0.8$、$\sin\theta = 0.6$）： 此時外反力皆為零（內力自平衡系），各桿內力 $u$ 如下：

• 斜桿 AC：$u_{AC} = +1.0$。
• 節點 A： $\sum F_x = 0 \implies u_{AD} + 1.0\cos\theta = 0 \implies u_{AD} = -0.8$。 $\sum F_y = 0 \implies u_{AB} + 1.0\sin\theta = 0 \implies u_{AB} = -0.6$。
• 節點 D： $\sum F_x = 0 \implies -u_{BD}\cos\theta - u_{AD} = 0 \implies u_{BD} = -(-0.8)/0.8 = +1.0$。 $\sum F_y = 0 \implies -u_{CD} - u_{BD}\sin\theta = 0 \implies u_{CD} = -(1.0)(0.6) = -0.6$。
• 節點 C：

核心觀念

本題考查剛架結構（Plane Frame）之靜不定分析與內力彎矩圖繪製。

1. 運動不確定度（Kinematic Indeterminacy / 自由度 DOF）判別：

• 剛架分析通常忽略梁柱桿件之軸向變形（$EA \to \infty$）。
• 固定端 $A$、$C$ 之位移與轉角皆為零（$u_A = v_A = \theta_A = 0$；$u_C = v_C = \theta_C = 0$）。
• 剛接點 $B$：水平方向受水平桿 $AB$ 拘束（$u_B = u_A = 0$）；垂直方向受垂直柱 $BC$ 拘束（$v_B = v_C = 0$）。因此節點 $B$ 無側移亦無垂直線位移（$\Delta_{Bx} = 0, \Delta_{By} = 0$），各桿弦轉角均為零（$\psi_{AB} = \psi_{BC} = 0$）。
• 全結構僅存在一個獨立未知變位，即剛接點 $B$ 之旋轉角 $\theta_B$（$DOF = 1$）。

2. 分析方法選擇：

• 本題若採用力法（柔度法），外靜不定度為 $3$ 度，需解三元聯立方程式。
• 採用傾角撓度法（Slope-Deflection Method）​或力矩分配法（Moment Distribution Method），僅需解一元一次方程式即可求解，極為迅速且不易出錯。

3. 傾角撓度方程式（無側移、無跨內載重）： $M_{ij} = \frac{2EI}{L} (2\theta_i + \theta_j)$
4. 構件平衡與彎矩圖（BMD）繪製準則：

• 依台灣土木工程結構學慣例，彎矩圖標示各關鍵斷面（端點、反曲點）之數值，並繪於桿件之受拉側（Tension Side）。

解題方法

一、 幾何與已知條件

• 水平梁 $AB$：長度 $L_{AB} = 2L$，抗彎剛度 $EI$。
• 垂直柱 $BC$：長度 $L_{BC} = L$，抗彎剛度 $EI$。
• 外載重：剛接點 $B$ 處受一順時針外加集中力矩 $M_0 = PL$。
• 邊界條件：$A$ 點固定端（$\theta_A = 0$），$C$ 點固定端（$\theta_C = 0$）。
• 桿件弦轉角：$\psi_{AB} = 0$，$\psi_{BC} = 0$。

二、 傾角撓度方程式建立桿端彎矩

各桿跨內無載重，固端彎矩均為零（$FEM = 0$）。設順時針力矩及轉角為正：

1. 桿件 $AB$（長度 $2L$）： $M_{AB} = \frac{2EI}{2L} (2\theta_A + \theta_B) = \frac{EI}{L} \theta_B$ $M_{BA} = \frac{2EI}{2L} (2\theta_B + \theta_A) = \frac{2EI}{L} \theta_B$

2. 桿件 $BC$（長度 $L$）： $M_{BC} = \frac{2EI}{L} (2\theta_B + \theta_C) = \frac{4EI}{L} \theta_B$ $M_{CB} = \frac{2EI}{L} (2\theta_C + \theta_B) = \frac{2EI}{L} \theta_B$

三、 節點 $B$ 力矩平衡求解轉角 $\theta_B$

取出剛接點 $B$ 進行力矩平衡分析。外加集中力矩為順時針 $PL$： $\sum M_B = 0 \implies M_{BA} + M_{BC} = PL$

代入桿端力矩式： $\frac{2EI}{L} \theta_B + \frac{4EI}{L} \theta_B = PL$ $\frac{6EI}{L} \theta_B = PL \implies \theta_B = \frac{PL^2}{6EI} \quad (\text{順時針})$

四、 計算各桿端彎矩值

將 $\theta_B$ 代回各桿端彎矩：

• $M_{AB} = \frac{EI}{L} \left(\frac{PL^2}{6EI}\right) = \frac{1}{6} PL$ （順時針）
• $M_{BA} = \frac{2EI}{L} \left(\frac{PL^2}{6EI}\right) = \frac{1}{3} PL$ （順時針）
• $M_{BC} = \frac{4EI}{L} \left(\frac{PL^2}{6EI}\right) = \frac{2}{3} PL$ （順時針）
• $M_{CB} = \frac{2EI}{L} \left(\frac{PL^2}{6EI}\right) = \frac{1}{3} PL$ （順時針）

五、 求解各支承反作用力

1. 隔離構件 $AB$（長度 $2L$）：

• 左端 $A$ 作用順時針彎矩 $M_{AB} = \frac{1}{6}PL$ 及垂直剪力 $A_y$。
• 右端 $B$ 作用順時針彎矩 $M_{BA} = \frac{1}{3}PL$ 及垂直剪力 $V_{BA}$。
• 對 $B$ 點取力矩平衡 $\sum M_B = 0$： $M_{AB} + M_{BA} - A_y \cdot (2L) = 0 \quad (\text{設 } A_y \text{ 向下})$ $\frac{1}{6}PL + \frac{1}{3}PL - 2L \cdot A_y = 0 \implies A_y = \frac{P}{4} \quad (\downarrow)$
• 由垂直平衡 $\sum F_y = 0$ 得：$V_{BA} = \frac{P}{4} \quad (\uparrow)$。

2. 隔離構件 $BC$（高度 $L$）：

• 頂端 $B$ 作用順時針彎矩 $M_{BC} = \frac{2}{3}PL$ 及水平剪力 $H_{BC}$。
• 底端 $C$ 作用順時針彎矩 $M_{CB} = \frac{1}{3}PL$ 及水平剪力 $C_x$。
• 對 $C$ 點取力矩平衡 $\sum M_C = 0$： $M_{BC} + M_{CB} - H_{BC} \cdot L = 0 \quad (\text{設 } H_{BC} \text{ 向左})$ $\frac{2}{3}PL + \frac{1}{3}PL - H_{BC} \cdot L = 0 \implies H_{BC} = P \quad (\leftarrow)$
• 由水平平衡 $\sum F_x = 0$ 得：$C_x = P \quad (\to)$。

3. 節點 $B$ 力平衡傳遞：

• 構件 $BC$ 在 $B$ 點頂部施予節點水平力 $P \to$，由節點水平平衡傳至構件 $AB$，使構件 $AB$ 受軸拉力 $P$。因此支承 $A$ 之水平反力為 $A_x = P \quad (\leftarrow)$。
• 構件 $AB$ 在 $B$ 點施予節點垂直力 $\frac{P}{4} \downarrow$，由節點垂直平衡傳至構件 $BC$，使構件 $BC$ 受軸壓力 $\frac{P}{4}$。因此支承 $C$ 之垂直反力為 $C_y = \frac{P}{4} \quad (\uparrow)$。

4. 反力結果彙整：

• 固定端 $A$： $A_x = P \quad (\leftarrow)$ $A_y = \frac{P}{4} \quad (\downarrow)$

核心觀念

本題考查鋼筋混凝土「矩形雙筋梁之斷面彎矩強度計算」，為公職國考極具鑑別度的經典考題。依據命題當年（民國 107 年）適用之「混凝土結構設計規範」（土木 401-100）規定，解題核心觀念與依循原理如下： （註：現行法規已更新為「結構混凝土設計規範」，但雙筋梁之應變相容與極限平衡分析原理維持一致。）

1. 基本應變相容與應力塊假設：

• 混凝土極限壓應變取 $\epsilon_{cu} = 0.003$。
• 混凝土受壓應力塊採 Whitney 等效矩形應力塊，平均應力強度取 $0.85f'_c$。
• 應力塊深度 $a = \beta_1 c$。因 $f'_c = 280\ \mathrm{kgf/cm^2} \le 280\ \mathrm{kgf/cm^2}$，應力塊折減係數 $\beta_1 = 0.85$。

2. 鋼筋應變與降伏檢核：

• 鋼筋降伏應變 $\epsilon_y = \frac{f_y}{E_s} = \frac{4200}{2.04 \times 10^6} \approx 0.002059$。
• 壓力鋼筋應變 $\epsilon'_s = 0.003 \times \frac{c - d'}{c}$。若 $\epsilon'_s < \epsilon_y$，壓力筋未降伏，其應力必須以虎克定律計算：$f'_s = E_s \epsilon'_s$。
• 拉力鋼筋應變 $\epsilon_t = 0.003 \times \frac{d - c}{c}$。若 $\epsilon_t \ge \epsilon_y$，拉力筋降伏，$f_s = f_y$。

3. 斷面控制類型與強度折減係數（$\phi$）：

• 當 $\epsilon_t \ge 0.005$ 時，斷面屬於「拉力控制斷面」，彎矩強度折減係數 $\phi = 0.90$。

4. 極限彎矩強度計算：

• 斷面標稱彎矩強度 $M_n = C_c \left(d - \frac{a}{2}\right) + C_s (d - d')$
• 設計彎矩強度 $\phi M_n = \phi \times M_n$

解題方法

步驟一：基本斷面與材料幾何性質彙整

• 梁寬 $b = 35\ \mathrm{cm}$，有效深度 $d = 61\ \mathrm{cm}$，壓力筋深度 $d' = 6.5\ \mathrm{cm}$。
• 拉力鋼筋面積：$A_s = 8 \times 3.87 = 30.96\ \mathrm{cm^2}$
• 壓力鋼筋面積：$A'_s = 3 \times 3.87 = 11.61\ \mathrm{cm^2}$
• 鋼筋降伏應變： $\epsilon_y = \frac{f_y}{E_s} = \frac{4200}{2.04 \times 10^6} = 0.002059$

步驟二：檢核壓力鋼筋是否降伏

若先假定拉力鋼筋及壓力鋼筋均降伏（$f_s = f'_s = f_y$）： $C_c + C_s = T \implies 0.85 f'_c a b + A'_s f_y = A_s f_y$ $0.85 \times 280 \times a \times 35 + 11.61 \times 4200 = 30.96 \times 4200$ $8330 a = (30.96 - 11.61) \times 4200 = 81270 \implies a = 9.756\ \mathrm{cm}$ 對應之中性軸深度： $c = \frac{a}{\beta_1} = \frac{9.756}{0.85} = 11.478\ \mathrm{cm}$ 檢核壓力鋼筋應變： $\epsilon'_s = 0.003 \times \frac{c - d'}{c} = 0.003 \times \frac{11.478 - 6.5}{11.478} = 0.001301 < \epsilon_y = 0.002059$ 檢驗結果顯示壓力鋼筋未降伏，原假定不成立，必須以應變相容重新建立力平衡方程式。

步驟三：建立靜力平衡方程式求解中性軸深度 $c$

假設拉力鋼筋降伏（$f_s = f_y$），壓力鋼筋未降伏（$f'_s = E_s \epsilon'_s$）： $f'_s = E_s \left[0.003 \times \frac{c - d'}{c}\right] = 2.04 \times 10^6 \times 0.003 \times \frac{c - 6.5}{c} = 6120 \left(\frac{c - 6.5}{c}\right)\ \mathrm{kgf/cm^2}$

依水平內力平衡條件 $C_c + C_s = T$（工程慣用忽略壓力筋佔據混凝土之微小面積）： $0.85 f'_c (\beta_1 c) b + A'_s f'_s = A_s f_y$ $0.85 \times 280 \times (0.85 c) \times 35 + 11.61 \times \left[6120 \left(\frac{c - 6.5}{c}\right)\right] = 30.96 \times 4200$ $7080.5 c + 71053.2 \left(\frac{c - 6.5}{c}\right) = 130032$

兩邊同乘以 $c$ 並整理得二次方程式： $7080.5 c^2 + 71053.2 c - 461845.8 = 130032 c$ $7080.5 c^2 - 58978.8 c - 461845.8 = 0$ 同除以 $7080.5$： $c^2 - 8.330 c - 65.228 = 0$

解一元二次方程式（取正根）： $c = \frac{8.330 + \sqrt{(-8.330)^2 - 4(1)(-65.228)}}{2} = \frac{8.330 + \sqrt{69.389 + 260.912}}{2} = \frac{8.330 + 18.174}{2} = 13.252\ \mathrm{cm}$

核心觀念

本題以命題當年（民國 107 年）適用之我國《混凝土工程設計規範與解說》（土木 401-100 / 內政部結構混凝土設計規範）為準（現行法規已陸續更新章節架構，但極限設計法之剪力核心公式與檢核準則維持一致）。

本題主要測驗鋼筋混凝土梁剪力強度設計與肋筋最大間距之檢核，核心概念與公式如下：

1. 設計載重組合：採用極限設計法載重因數 $U = 1.2 D + 1.6 L$。
2. 斷面設計剪力：簡支梁均布載重下，距支承 $x$ 處之因數化剪力為 $V_u = R - w_u x$。
3. 混凝土剪力強度：簡化公式為 $V_c = 0.53 \sqrt{f'_c} b d$（單位採 $\mathrm{kgf}$ 與 $\mathrm{cm}$），剪力強度折減係數 $\phi = 0.75$。
4. 剪力鋼筋名義強度：由 $\phi(V_c + V_s) \ge V_u$ 可得剪力鋼筋需提供之強度 $V_s \ge \frac{V_u}{\phi} - V_c$。且斷面尺寸須滿足防壓碎限制 $V_s \le 2.12 \sqrt{f'_c} b d$。
5. 剪力鋼筋間距決定：垂直閉合肋筋雙肢受剪（$A_v = 2 A_b$），需同時檢核三項間距條件，取最小值作為最大允許間距：

• 強度所需間距：$s \le \frac{A_v f_{yt} d}{V_s}$
• 規範最大間距上限：若 $V_s \le 1.06 \sqrt{f'_c} b d$，則 $s \le \min\left(\frac{d}{2}, 60\ \mathrm{cm}\right)$；若 $V_s > 1.06 \sqrt{f'_c} b d$，則 $s \le \min\left(\frac{d}{4}, 30\ \mathrm{cm}\right)$。
• 最小剪力鋼筋量限制：$A_{v,\min} = \max\left(0.2 \sqrt{f'_c}\frac{b s}{f_{yt}}, 3.5 \frac{b s}{f_{yt}}\right)$，即 $s \le \min\left(\frac{A_v f_{yt}}{0.2\sqrt{f'_c}b}, \frac{A_v f_{yt}}{3.5 b}\right)$。

解題方法

步驟一：計算因數化均布載重 $w_u$ 與距支承 $1\ \mathrm{m}$ 處之設計剪力 $V_u$

1. 均布載重組合： $w_u = 1.2 w_D + 1.6 w_L = 1.2 \times 3000 + 1.6 \times 3600 = 3600 + 5760 = 9360\ \mathrm{kgf/m}$
2. 簡支梁跨距 $L = 8\ \mathrm{m}$，兩端支承反力： $R = \frac{w_u L}{2} = \frac{9360 \times 8}{2} = 37440\ \mathrm{kgf}$
3. 距支承 $x = 1\ \mathrm{m}$ 處之剪力： $V_u = R - w_u x = 37440 - 9360 \times 1 = 28080\ \mathrm{kgf}$

步驟二：計算混凝土剪力強度 $V_c$ 與檢核配筋需求

1. 斷面寬度 $b = 40\ \mathrm{cm}$，有效深度 $d = 63\ \mathrm{cm}$，混凝土強度 $f'_c = 280\ \mathrm{kgf/cm^2}$： $\sqrt{f'_c} = \sqrt{280} \approx 16.733\ \mathrm{kgf/cm^2}$ $V_c = 0.53 \sqrt{f'_c} b d = 0.53 \times 16.733 \times 40 \times 63 \approx 22349\ \mathrm{kgf}$
2. 混凝土設計剪力強度： $\phi V_c = 0.75 \times 22349 = 16762\ \mathrm{kgf}$ 因 $V_u = 28080\ \mathrm{kgf} > \phi V_c = 16762\ \mathrm{kgf}$，故必須配置剪力鋼筋。

步驟三：計算剪力鋼筋所需承擔之名義剪力 $V_s$

1. 依極限強度設計準則 $\phi (V_c + V_s) \ge V_u$： $V_s \ge \frac{V_u}{\phi} - V_c = \frac{28080}{0.75} - 22349 = 37440 - 22349 = 15091\ \mathrm{kgf}$