109 鐵路特考高員三級 電力工程 電機機械 考古題詳解

109 年・鐵路特考・高員三級・電力工程
試題代碼 電機機械

第 一 題25 分

圖一中參數如下：

N1=100N_1=100 匝、N2=200N_2=200 匝、g1=g2=1 mmg_1=g_2=1\ \mathrm{mm}、g3=2 mmg_3=2\ \mathrm{mm}、i1=1 Ai_1=1\ \mathrm{A}、i2=2 Ai_2=2\ \mathrm{A}、μ0=4π×10−7 H/m\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H/m}。

鐵心材料的導磁係數 μ\mu 接近無窮大，磁路截面積 A=200 mm2A=200\ \mathrm{mm^2}。假設忽略漏磁通與邊緣磁通，計算：

圖一：🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）磁通量 ϕ1\phi_1 與 ϕ2\phi_2。

（二）N1N_1 與 N2N_2 繞組的自感與兩繞組間的互感。

（三）儲存在該系統的總磁能。

（四）當 g3=0g_3=0 時，此時 N1N_1 與 N2N_2 兩繞組間的互感變為多少？

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考磁路的磁阻、磁動勢、耦合線圈電感與磁能。鐵心導磁係數 μ→∞\mu\to\infty，所以鐵心磁阻可忽略，磁路磁阻只由三個氣隙決定：

Rg=gμ0A\mathcal R_g=\frac{g}{\mu_0 A}

依圖中的磁通方向，左、右兩個磁路共用中央氣隙 g3g_3，且兩繞組的磁動勢參考方向相同。令中央氣隙磁通向下為正，則中央氣隙磁通為 ϕ3=ϕ1−ϕ2\phi_3=\phi_1-\phi_2。

解題方法

先計算每個 1 mm1\ \mathrm{mm} 氣隙的磁阻：

R=1×10−3(4π×10−7)(200×10−6)=3.9789×106 A/Wb\mathcal R=\frac{1\times10^{-3}} {(4\pi\times10^{-7})(200\times10^{-6})} =3.9789\times10^6\ \mathrm{A/Wb}

因此 R1=R2=R\mathcal R_1=\mathcal R_2=\mathcal R，而 R3=2R\mathcal R_3=2\mathcal R。兩個磁路的磁動勢方程為

N1i1=Rϕ1+2R(ϕ1−ϕ2),N2i2=Rϕ2+2R(ϕ2−ϕ1).\begin{aligned} N_1i_1&=\mathcal R\phi_1+2\mathcal R(\phi_1-\phi_2),\\ N_2i_2&=\mathcal R\phi_2+2\mathcal R(\phi_2-\phi_1). \end{aligned}

代入 N1i1=100 A⋅turnN_1i_1=100\ \mathrm{A\cdot turn}、N2i2=400 A⋅turnN_2i_2=400\ \mathrm{A\cdot turn}：

R[3−2−23][ϕ1ϕ2]=[100400]\mathcal R \begin{bmatrix} 3&-2\\ -2&3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_1\\ \phi_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 100\\ 400 \end{bmatrix}

解得

ϕ1=220R=55.29 μWb,ϕ2=280R=70.37 μWb.\phi_1=\frac{220}{\mathcal R} =55.29\ \mu\mathrm{Wb},\qquad \phi_2=\frac{280}{\mathcal R} =70.37\ \mu\mathrm{Wb}.

中央氣隙磁通為

ϕ3=ϕ1−ϕ2=−15.08 μWb.\phi_3=\phi_1-\phi_2=-15.08\ \mu\mathrm{Wb}.

負號表示中央氣隙實際磁通方向向上，與前述「向下為正」的參考方向相反。

自感與互感

由磁阻方程反解磁通：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 二 題25 分

有一部 208 V208\ \mathrm{V}、Y 型連接同步電動機從 208 V208\ \mathrm{V} 無限匯流排以單位功因（Unity power factor）汲取 100 A100\ \mathrm{A} 的電流。在此條件下，場電流（Field current）為 2 A2\ \mathrm{A}，且同步電抗為 0.4 Ω0.4\ \Omega（忽略電樞電阻）。

假設線性開路特性（Linear open-circuit characteristic），請問該電動機在功因 0.80.8 超前運轉下需要多少場電流？

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

同步電動機的功率因數改變時，電樞電流的相位會改變，因而使內部感應電勢改變。題目給定「線性開路特性」，表示場電流與內部感應電勢大小成正比：

If∝∣EA∣I_f \propto |E_A|

忽略電樞電阻時，每相同步電動機的相量方程式為

Vϕ=EA+jXsIAV_\phi = E_A + jX_s I_A

其中 EAE_A 為內部感應電勢，XsX_s 為同步電抗。Y 型連接時，線電壓除以 3\sqrt{3} 得相電壓，線電流等於相電流。

解題方法

取相電壓為相位基準。由於電動機以單位功因運轉，電樞電流與相電壓同相：

Vϕ=2083=120.09 V,IA=100 AV_\phi=\frac{208}{\sqrt{3}}=120.09\ \mathrm{V},\qquad I_A=100\ \mathrm{A}

依電動機相量方程式，

EA1=Vϕ−jXsIA=120.09−j(0.4)(100)=120.09−j40 VE_{A1}=V_\phi-jX_s I_A =120.09-j(0.4)(100) =120.09-j40\ \mathrm{V}

因此原運轉狀態的內部感應電勢大小為

∣EA1∣=120.092+402=126.57 V|E_{A1}|=\sqrt{120.09^2+40^2}=126.57\ \mathrm{V}

新狀態功因為 0.80.8 超前，電流超前相電壓

ϕ=cos⁡−1(0.8)=36.87∘\phi=\cos^{-1}(0.8)=36.87^\circ

超前，故

IA2=100∠36.87∘=80+j60 AI_{A2}=100\angle 36.87^\circ =80+j60\ \mathrm{A}

電流大小仍取題目給定的 100 A100\ \mathrm{A}。代入電動機相量方程式：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 三 題25 分

有一部 20 kW20\ \mathrm{kW}、200 V200\ \mathrm{V}、1800 rpm1800\ \mathrm{rpm} 並激式直流發電機，電樞電阻 Ra=0.1 ΩR_a=0.1\ \Omega、場繞組電阻 Rfw=150 ΩR_{fw}=150\ \Omega。該發電機在滿載時承載 1 A1\ \mathrm{A} 的場繞組電流。

假設滿載時的旋轉損耗為 1.2 kW1.2\ \mathrm{kW}，計算：

（一）滿載時所產生的電壓。

（二）滿載時的場變阻器電阻值（Field rheostat resistance）。

（三）滿載時的電樞功率。

（四）滿載時的發電機輸出功率。

（五）發電機的效率。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

並激式直流發電機的電樞與場繞組並聯，滿載時有：

Ia=IL+IfI_a=I_L+I_f

其中 IaI_a 為電樞電流、ILI_L 為負載電流、IfI_f 為場繞組電流。發電機的感應電壓需補償電樞電阻壓降：

Eg=Vt+IaRaE_g=V_t+I_aR_a

場變阻器與場繞組串聯，因此：

Rfield rheostat=VtIf−RfwR_{\text{field rheostat}}=\frac{V_t}{I_f}-R_{fw}

電樞功率、輸出功率與效率分別為：

Pa=EgIaP_a=E_gI_a Pout=VtILP_{\text{out}}=V_tI_L η=PoutPin=PoutPout+Ploss\eta=\frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} =\frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{out}}+P_{\text{loss}}}

本題的損失包括電樞銅損、場繞組銅損與旋轉損耗。

解題方法

額定容量為 20 kW20\ \mathrm{kW}，端電壓為 200 V200\ \mathrm{V}，故滿載負載電流為：

IL=20 000200=100 AI_L=\frac{20\,000}{200}=100\ \mathrm{A}

題目給定滿載場電流 If=1 AI_f=1\ \mathrm{A}，所以電樞電流為：

Ia=IL+If=100+1=101 AI_a=I_L+I_f=100+1=101\ \mathrm{A}

（一）滿載時所產生的電壓

發電機內部感應電壓須加上電樞電阻壓降：

Eg=Vt+IaRa=200+(101)(0.1)=210.1 VE_g=V_t+I_aR_a =200+(101)(0.1) =\boxed{210.1\ \mathrm{V}}

（二）滿載時的場變阻器電阻值

場繞組與場變阻器串聯，總場電路電阻為 Vt/IfV_t/I_f。因此：

Rfield rheostat=2001−150=50 ΩR_{\text{field rheostat}} =\frac{200}{1}-150 =\boxed{50\ \Omega}

（三）滿載時的電樞功率

電樞功率以感應電壓乘以電樞電流計算：

Pa=EgIa=(210.1)(101)=21 220.1 WP_a=E_gI_a=(210.1)(101) =\boxed{21\,220.1\ \mathrm{W}}
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 四 題25 分

有一部三相 60 Hz60\ \mathrm{Hz}、460 V460\ \mathrm{V}、50 hp50\ \mathrm{hp}、1180 rpm1180\ \mathrm{rpm} 繞線式轉子感應電動機，具以下參數：

R1=0.191 Ω/相R_1=0.191\ \Omega/\text{相}

R2′=0.0707 Ω/相R'_2=0.0707\ \Omega/\text{相}

X1=X2′=0.754 Ω/相X_1=X'_2=0.754\ \Omega/\text{相}

Xm=16.9 Ω/相X_m=16.9\ \Omega/\text{相}

忽略 RcR_c。請計算該電動機的：

（一）啟動轉矩（Starting torque）。

（二）滿載轉差率（Full-load slip）。

（三）滿載轉矩（Full-load torque）。

（四）氣隙功率（Air-gap power）。

（五）最大轉矩（Maximum torque）。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

感應電動機的轉矩由轉子電流與氣隙功率決定。採用每相戴維寧等效電路，可將定子與激磁支路化簡為電壓源 VthV_{\mathrm{th}} 和阻抗 ZthZ_{\mathrm{th}}，再串接轉子支路。

轉速為 nn、同步轉速為 nsn_s 時，轉差率為

s=ns−nnss=\frac{n_s-n}{n_s}

同步角速度為

ωs=2πns60\omega_s=\frac{2\pi n_s}{60}

以每相戴維寧等效參數表示電磁轉矩：

T(s)=3∣Vth∣2(R2′/s)ωs[(Rth+R2′/s)2+(Xth+X2′)2]T(s)= \frac{3|V_{\mathrm{th}}|^2(R'_2/s)} {\omega_s\left[(R_{\mathrm{th}}+R'_2/s)^2+(X_{\mathrm{th}}+X'_2)^2\right]}

氣隙功率與轉矩的關係為

Pag=TωsP_{\mathrm{ag}}=T\omega_s

解題方法

1. 求同步轉速與滿載轉差率

額定轉速 1180 rpm1180\ \mathrm{rpm} 接近 1200 rpm1200\ \mathrm{rpm}，故電動機為六極機：

ns=120fP=120(60)6=1200 rpmn_s=\frac{120f}{P}=\frac{120(60)}{6}=1200\ \mathrm{rpm}

同步角速度：

ωs=2π(1200)60=125.66 rad/s\omega_s=\frac{2\pi(1200)}{60}=125.66\ \mathrm{rad/s}

滿載轉差率：

sFL=1200−11801200=0.01667s_{\mathrm{FL}}=\frac{1200-1180}{1200} =0.01667

2. 求戴維寧等效參數

將 460 V460\ \mathrm{V} 視為線電壓，換算每相電壓：

Vϕ=4603=265.58 VV_{\phi}=\frac{460}{\sqrt{3}}=265.58\ \mathrm{V}

定子阻抗與激磁阻抗為

Z1=R1+jX1=0.191+j0.754 ΩZ_1=R_1+jX_1=0.191+j0.754\ \Omega Zm=jXm=j16.9 ΩZ_m=jX_m=j16.9\ \Omega

戴維寧電壓及阻抗：

Vth=VϕZmZ1+Zm,Zth=Z1ZmZ1+ZmV_{\mathrm{th}}=V_{\phi}\frac{Z_m}{Z_1+Z_m}, \qquad Z_{\mathrm{th}}=\frac{Z_1Z_m}{Z_1+Z_m}

代入可得

∣Vth∣=254.22 V|V_{\mathrm{th}}|=254.22\ \mathrm{V} Zth=Rth+jXth=0.1750+j0.7237 ΩZ_{\mathrm{th}}=R_{\mathrm{th}}+jX_{\mathrm{th}} =0.1750+j0.7237\ \Omega

因此

Xth+X2′=0.7237+0.754=1.4777 ΩX_{\mathrm{th}}+X'_2=0.7237+0.754=1.4777\ \Omega

3. 計算各項轉矩與氣隙功率

（一）啟動轉矩

啟動時轉子靜止，s=1s=1：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

電力工程《電機機械》其他年度

112111110108107