107 高普考高考二級 土木工程 高等工程力學（包括材料力學） 考古題詳解

核心觀念

• 剛體平面運動（Planar Kinetics of a Rigid Body）： 圓球沿斜面滾動為兼具質心平移與繞質心轉動之平面運動。
• 運動方程式（Newton-Euler Equations）：
• 質心平移運動方程式：$\Sigma F_x = m a_c$、$\Sigma F_y = 0$
• 繞質心轉動方程式：$\Sigma M_c = I_c \alpha$
• 純滾動運動學拘束條件（Rolling without Slipping）： 接觸點無相對滑動時，質心加速度 $a_c$ 與角加速度 $\alpha$ 滿足幾何拘束： $a_c = R\alpha$
• 庫侖靜摩擦定律（Coulomb's Criterion for Static Friction）： 純滾動條件為接觸面所需之靜摩擦力不得超過最大靜摩擦力： $F \le F_{s,\max} = \mu_s N$

解題方法

1. 建立座標系與受力分析（自由體圖）

• 取沿斜面向下為 $x$ 軸正方向，垂直斜面向上為 $y$ 軸正方向；順時針旋轉（向下滾動方向）為力矩與角加速度正方向。
• 球體受外力包含：

1. 重力 $mg$：作用於質心 $c$，沿斜面向下分力為 $mg \sin\alpha$，垂直斜面向下分力為 $mg \cos\alpha$。
2. 斜面正向力 $N$：作用於接觸點，方向垂直斜面向上，其作用線通過質心 $c$。
3. 靜摩擦力 $F$：作用於接觸點，方向沿斜面向上（提供對質心 $c$ 產生順時針旋轉之轉矩）。

2. 建立力學運動方程式

• 垂直斜面方向（無加速度）： $\Sigma F_y = 0 \implies N - mg \cos\alpha = 0 \implies N = mg \cos\alpha$
• 平行斜面方向（牛頓第二定律）： $\Sigma F_x = m a_c \implies mg \sin\alpha - F = m a_c \quad \text{--- (式 1)}$
• 繞質心 $c$ 之轉動方程式（重力與正向力對質心之轉矩皆為零）： $\Sigma M_c = I_c \alpha \implies F \cdot R = I_c \alpha \quad \text{--- (式 2)}$

3. 求解摩擦力 $F$

• 將純滾動運動學條件 $\alpha = \frac{a_c}{R}$ 及題目給定之質心質量慣性矩 $I_c = \frac{2}{5}mR^2$ 代入 (式 2)： $F \cdot R = \left(\frac{2}{5}mR^2\right) \left(\frac{a_c}{R}\right) \implies F = \frac{2}{5}m a_c \quad \text{--- (式 3)}$
• 將 (式 3) 之 $F$ 代入 (式 1)：

核心觀念

本題考查分析力學中的虛功原理（Principle of Virtual Work）​應用於剛體系統的靜力平衡分析：

1. 虛功原理：處於靜力平衡之理想約束系統（無摩擦、所有接觸面皆為光滑），所有作用於系統之主動力（Active Forces）在任意符合幾何約束的虛位移（Virtual Displacement）中所作的虛功總和為零，即： $\delta U = 0$
2. 約束力（法向反力）不作功：由於所有接觸面皆為光滑，牆面與地面的法向約束反力均垂直於其接觸邊界的可能位移方向，故約束力所作之虛功皆為零。
3. 重力虛功：兩均質桿件之質心均在其中點，重力作用點為質心。若取向上為正，重力 $W = mg$ 所作之虛功為 $\delta U_g = -W \delta y_G$。
4. 自由度與廣義坐標：該系統由兩根長度固定的剛架組成，受到左右兩垂直牆面及底部水平基準線的接觸約束，整體系統僅具有 $1$ 個自由度（Degree of Freedom）。選定合適的幾何參數（如 $B$ 點之水平位置或桿件傾角）作為廣義坐標，即可建立質心位移與廣義坐標之變分關係。

解題方法

1. 建立坐標系與幾何約束關係

以水平基準線為 $x$ 軸（$y = 0$），左側垂直光滑牆面為 $y$ 軸（$x = 0$）：

• $A$ 點接觸左側垂直牆面：$x_A = 0$，$y_A = 0.75\ \mathrm{m}$。
• $B$ 點位於水平基準線上，設其水平坐標為 $x$。依平衡位置之條件，$x = 1\ \mathrm{m}$。
• $C$ 點接觸右側垂直牆面：水平坐標固定為 $x_C = D = 1 + 2 = 3\ \mathrm{m}$，$y_C = 1.5\ \mathrm{m}$。

設桿 $AB$ 之長度為 $L_{AB}$，桿 $BC$ 之長度為 $L_{BC}$。由幾何約束： $x^2 + y_A^2 = L_{AB}^2$ $(D - x)^2 + y_C^2 = L_{BC}^2$

在平衡狀態下：

• $L_{AB} = \sqrt{1^2 + 0.75^2} = 1.25\ \mathrm{m}$
• $L_{BC} = \sqrt{2^2 + 1.5^2} = 2.5\ \mathrm{m}$

2. 質心坐標及其虛位移

兩桿之質心 $G_1$（桿 $AB$）與 $G_2$（桿 $BC$）均位於桿件中點，其鉛直高度分別為： $y_{G1} = \frac{1}{2} y_A = \frac{1}{2}\sqrt{L_{AB}^2 - x^2}$ $y_{G2} = \frac{1}{2} y_C = \frac{1}{2}\sqrt{L_{BC}^2 - (D - x)^2}$

給予系統一個虛位移 $\delta x$（設 $B$ 點沿水平方向位移 $\delta x$），質心高度相應產生的虛位移分別為： $\delta y_{G1} = \frac{d y_{G1}}{d x} \delta x = \frac{1}{2} \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{L_{AB}^2 - x^2}} \delta x = -\frac{x}{2 y_A} \delta x$ $\delta y_{G2} = \frac{d y_{G2}}{d x} \delta x = \frac{1}{2} \cdot \frac{2(D - x)}{2\sqrt{L_{BC}^2 - (D - x)^2}} \delta x = \frac{D - x}{2 y_C} \delta x$

將題設平衡狀態之尺寸數值代入：

• $x = 1\ \mathrm{m}$，$y_A = 0.75\ \mathrm{m}$： $\delta y_{G1} = -\frac{1}{2 \times 0.75} \delta x = -\frac{2}{3} \delta x$
• $D - x = 2\ \mathrm{m}$，$y_C = 1.5\ \mathrm{m}$： $\delta y_{G2} = \frac{2}{2 \times 1.5} \delta x = \frac{2}{3} \delta x$

3. 列虛功方程式求質量

作用於系統之主動力僅有兩桿件之重力 $W_{AB} = m_{AB} g$ 及 $W_{BC} = m_{BC} g$（方向均向下）：

核心觀念

1. 歐拉－白努利梁理論（Euler-Bernoulli Beam Theory）的平斷面假說： 梁在純彎矩或最大彎矩斷面上變形後，斷面仍保持為平面且垂直於變形後的梁軸。因此，斷面上任意點的正應變 $\varepsilon(y)$ 隨其距中性軸的垂直距離 $y$ 呈線性分佈：

其中 $\kappa$ 為該斷面之曲率。

2. 材料之非對稱本構律（Constitutive Law）：

• 受拉側：材料拉伸曲線呈現如圖 3(b) 所示之雙線性軟化行為（Bilinear Strain-Softening Model）：

式中 $\varepsilon_f$ 為極限彈性拉應變（峰值拉應變），$\sigma_f$ 為拉伸強度，$E = \frac{\sigma_f}{\varepsilon_f}$ 為初始彈性模數；$\varepsilon_u$ 為拉伸斷裂應變（軟化歸零應變）。題目定義之無因次參數為：

• 受壓側：對應於拉伸軟化材料（如混凝土、岩石、複合材料或脆性聚合物），其受壓降伏與破壞強度遠大於受拉強度，在受拉側進入微裂軟化階段時，受壓區仍處於線彈性範圍：

3. 斷面軸力平衡條件： 簡支梁受橫向載重作用，最大彎矩斷面處無外加軸力（$N = 0$）。因此，受壓區合力 $C$ 必須與受拉區合力 $T$ 保持內部平衡：

解題方法

1. 定義斷面幾何與應變分佈

矩形斷面寬度 $b = 1$，全高為 $h$。 設中性軸（$\varepsilon = 0$）至受拉最外緣（梁底面）的距離為 $y_t$，至受壓最外緣（梁頂面）的距離為 $y_c$，則滿足幾何約束：

斷面底層最大拉應變為 $\varepsilon_t$，頂層最大壓應變為 $\varepsilon_c$。根據平斷面假說，曲率為：

2. 計算受壓區合力 $C$

受壓側全區處於線彈性狀態，應力隨位置呈三角形線性分佈，斷面寬度 $b = 1$：

將 $\varepsilon_c = \varepsilon_t \frac{y_c}{y_t}$ 及 $E = \frac{\sigma_f}{\varepsilon_f}$ 代入，並引入 $\eta = \frac{\varepsilon_t}{\varepsilon_f}$：

3. 計算受拉區合力 $T$

由於應變沿深度線性分佈，$\varepsilon(y) = \frac{\varepsilon_t}{y_t} y$，則坐標微分可變換為應變微分 $dy = \frac{y_t}{\varepsilon_t} d\varepsilon$。 合力 $T$ 即可改由對應力－應變曲線下的面積求積分：

當 $\varepsilon_f < \varepsilon_t \le \varepsilon_u$（即 $1 < \eta \le \alpha$）時，拉應力曲線下的總面積由「彈性段三角形面積 $A_1$」與「軟化段梯形面積 $A_2$」構成：

• 彈性段面積（$0 \le \varepsilon \le \varepsilon_f$）：

• 軟化段面積（$\varepsilon_f \le \varepsilon \le \varepsilon_t$）： 底層纖維處的拉應力為：

梯形面積為：

核心觀念

本題為經典的靜定結合梁（Gerber Beam）變形分析，考查結構力學與材料力學的基本原理：

1. 內部鉸（Internal Hinge）之變形特性：

• 鉸接點處之位移連續，即撓度相等：$y_{B左} = y_{B右} = y_B$。
• 鉸接點無法傳遞彎矩（$M_B = 0$），允許相對轉動，故轉角不連續：$\theta_{B左} \neq \theta_{B右}$。

2. 靜定梁拆解與力傳遞：

• 梁結構分為附屬梁（簡支段 $AB$）與主梁（外伸固定端段 $BC$）。
• $AB$ 段受外力作用後，在 $B$ 點產生垂直剪力傳遞至 $BC$ 段。

3. 疊加法（Principle of Superposition）與剛體轉動：

• 靜定結構之支承位移（如 $B$ 點下沈 $y_B$）不會產生任何額外內力與彎矩，僅對 $AB$ 段產生純剛體轉動（Rigid-Body Rotation）。
• $AB$ 段任一點之總變形＝「兩端簡支時外力 $P$ 引起的彈性變形」＋「右端下沈 $y_B$ 引起的剛體位移」。

解題方法

步驟一：靜力平衡與受力分解

1. 取附屬梁 $AB$（長度 $2a$）為隔離體：

• $A$ 點為鉸支承，$B$ 點為內部鉸（提供垂直支承反力 $V_B$）。
• 中央點 $D$（距 $A$、$B$ 均為 $a$）受向下集中力 $P$。
• 對稱受力，兩端垂直剪力反力為： $R_A = \frac{P}{2} \quad (\uparrow), \quad V_{B,AB} = \frac{P}{2} \quad (\uparrow)$

2. 取主梁 $BC$（長度 $a$）為隔離體：

• $B$ 端承受由 $AB$ 段傳來的向下作用力 $P_B = \frac{P}{2} \quad (\downarrow)$。
• $C$ 端為固定端，長度為 $a$ 的懸臂梁自由端受向下集中力 $\frac{P}{2}$。

步驟二：分析懸臂段 $BC$，求解 $y_B$ 與 $\theta_{B右}$

懸臂梁 $BC$ 長度為 $a$，$C$ 端固定（$y_C = 0, \theta_C = 0$），自由端 $B$ 受集中力 $\frac{P}{2} \downarrow$：

1. $B$ 點撓度 $y_B$： $y_B = \frac{\left(\frac{P}{2}\right) a^3}{3EI} = \frac{Pa^3}{6EI} \quad (\text{向下 } \downarrow)$
2. $B$ 點右側轉角 $\theta_{B右}$：

• 梁在 $C$ 點水平切線，受向下力後向上彎曲（上緣受拉），由 $B$ 往 $C$ 向上傾斜。
• 轉角大小為： $\theta_{B右} = \frac{\left(\frac{P}{2}\right) a^2}{2EI} = \frac{Pa^2}{4EI} \quad (\text{逆時針 } \circlearrowleft)$
• 若以軸向 $x$ 向右、$y$ 向下定義（$\theta = \frac{dy}{dx}$），則 $\theta_{B右} = -\frac{Pa^2}{4EI}$。

步驟三：利用疊加法分析簡支段 $AB$

$AB$ 段跨度 $L = 2a$。其變形由「彈性彎曲」與「支承沈陷剛體轉動」疊加而成：

1. 狀態一：兩端簡支，中央受集中力 $P$ 之彈性變形

• $A$ 點轉角： $\theta_{A,1} = \frac{P L^2}{16EI} = \frac{P (2a)^2}{16EI} = \frac{Pa^2}{4EI} \quad (\text{順時針 } \circlearrowright)$
• $B$ 點左側轉角： $\theta_{B左,1} = \frac{P L^2}{16EI} = \frac{Pa^2}{4EI} \quad (\text{逆時針 } \circlearrowleft)$
• $D$ 點撓度（中央跨）： $y_{D,1} = \frac{P L^3}{48EI} = \frac{P (2a)^3}{48EI} = \frac{8Pa^3}{48EI} = \frac{Pa^3}{6EI} \quad (\text{向下 } \downarrow)$
• $D$ 點轉角（對稱點）： $\theta_{D,1} = 0$

2. 狀態二：$B$ 端產生支承沈陷 $y_B = \frac{Pa^3}{6EI} \downarrow$ 之剛體轉動

因 $AB$ 段為靜定梁，端點沈陷僅引起繞 $A$ 點順時針之整跨剛體轉動：

• 剛體轉角（各點皆相同）：