107 高普考高考二級 土木工程 高等鋼筋混凝土學與設計 考古題詳解

核心觀念

本題旨在探討鋼筋混凝土受撓構材「最小受撓鋼筋量 $A_{s,\min}$」之規範成因與力學推導。涉及之核心觀念、規範條文與理論公式如下：

1. 法規依據： 以命題當年（民國 107 年）內政部頒布之《混凝土結構設計規範》（土木 401-100）第 3.4 節「受撓構材之最小鋼筋量」為準。（現行規範已於民國 112 年修正發布，但其力學推導原理及防止開裂即脆斷之設計哲理完全相同，本題解題仍以命題當年為準）。
2. 物理意義與設計哲理： 梁構材若配置過少之拉力鋼筋，當外部載重產生的彎矩達到混凝土之開裂彎矩 $M_{cr}$ 時，受拉側混凝土開裂，原先由混凝土承受之拉應力瞬間全數轉移至鋼筋承擔。若此時鋼筋面積過小，其所能提供之抗撓強度小於開裂力矩，鋼筋將立即達到降伏並迅速被拉斷，引發類似素混凝土（無筋混凝土）之無預警突發性脆性破壞（brittle failure）。 為確保構材於開裂瞬間仍具備足夠的強度儲備與延展性，規範要求開裂後鋼筋混凝土斷面的設計抗彎強度 $\phi M_n$ 必須大於開裂彎矩 $M_{cr}$ 並具有相當之安全裕度（放大 1.7 倍），即滿足：

3. 推導所需公式與參數：

• 混凝土開裂模數：$f_r = 2\sqrt{f'_c}$（應力單位：$\text{kgf/cm}^2$）。
• 全斷面開裂彎矩：$M_{cr} = \frac{f_r I_g}{y_t}$。
• 鋼筋降伏後之斷面名義抗彎強度：$M_n = T \cdot jd = A_s f_y (jd)$。
• 幾何與力學假定：矩形斷面總深 $h = 1.1d$，內力臂 $jd = 0.95d$，受拉控制折減係數 $\phi = 0.9$。

解題方法

以題目指定之矩形單筋斷面為例，進行逐步推導：

步驟一：計算混凝土開裂彎矩 $M_{cr}$

對於寬度為 $b$、全深為 $h$ 之矩形未開裂全斷面（gross section）： 斷面慣性矩 $I_g = \frac{bh^3}{12}$，中性軸至最外側受拉纖維距離 $y_t = \frac{h}{2}$。 斷面彈性撓曲模數 $Z = \frac{I_g}{y_t} = \frac{bh^2}{6}$。

因此，開裂彎矩為：

代入題目給定之 $f_r = 2\sqrt{f'_c}$ 及 $h = 1.1d$：

步驟二：計算開裂後之名義抗彎強度 $M_n$ 與設計抗彎強度 $\phi M_n$

當開裂後拉力鋼筋達到降伏應力 $f_y$ 時，斷面內部總拉力為：

以受壓合力與受拉合力之間之力臂 $jd = 0.95d$ 計算開裂斷面之名義抗彎強度：

依規範規定，撓曲受拉控制斷面之強度折減係數取 $\phi = 0.9$：

步驟三：由防止脆斷之安全準則求解 $A_{s,\min}$

為防止開裂瞬間鋼筋直接降伏破壞，規範要求斷面之設計抗彎強度 $\phi M_n$ 至少需能抵抗 1.7 倍之開裂彎矩（1.7 係源自規範之載重超載安全係數）：

將步驟一與步驟二之數值代入上式：

計算等號右側係數：

不等式展開為：

依公職國考柱斷面單軸彎矩設計慣例，原卷附圖斷面尺寸為寬 $b = 37.5\ \mathrm{cm}$、總深 $h = 50\ \mathrm{cm}$，6-D32 主筋對稱配置於受拉側與受壓側各 3 支（即 $A_s = A'_s = 3\text{-D32} = 3 \times 8.143 = 24.429\ \mathrm{cm^2}$）。鋼筋中心至混凝土表面之保護層中心距依國考標準題型取 $d' = 6.5\ \mathrm{cm}$，故有效高度 $d = h - d' = 50 - 6.5 = 43.5\ \mathrm{cm}$。

核心觀念

本題依命題當年（民國 107 年）適用之內政部《混凝土結構設計規範》（民國 100 年版，對應 ACI 318-11）為準（現行規範雖有微調，但斷面應變相容原理與極限強度分析方法相同）：

1. 應變相容原理與材料本構關係：

• 混凝土極限壓應變 $\varepsilon_{cu} = 0.003$。
• 鋼筋彈性模數 $E_s = \frac{f_y}{\varepsilon_y} = \frac{4200}{0.002} = 2.1 \times 10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}$。當鋼筋應力 $f_s \le f_y$ 時，應變與應力呈線性比例 $\varepsilon_s = \frac{f_s}{f_y}\varepsilon_y$。

2. 等效矩形應力塊（Whitney Stress Block）：

• 深度 $a = \beta_1 c$。因 $f'_c = 280\ \mathrm{kgf/cm^2} \le 280\ \mathrm{kgf/cm^2}$，取 $\beta_1 = 0.85$。
• 混凝土受壓合力大小為 $C_c = 0.85 f'_c a b$，作用於距受壓頂端 $\frac{a}{2}$ 處。

3. 靜力平衡與強度折減：

• 軸向平衡：名義軸力 $P_n = C_c + C_s - T$。
• 力矩平衡：名義彎矩 $M_n$ 必須對「塑性中心」（對稱斷面即幾何形心 $\frac{h}{2}$）取矩。
• 設計強度：$P_u = \phi P_n$、$M_u = \phi M_n$。當最外層拉筋應變 $\varepsilon_t \le \varepsilon_y = 0.002$ 時，屬於壓力控制斷面（Compression-controlled section），橫箍筋柱之強度折減係數 $\phi = 0.65$。

解題方法

步驟 1：由拉筋應力求中性軸深度 $c$

已知拉筋應力達 $f_s = 0.5 f_y = 0.5 \times 4200 = 2100\ \mathrm{kgf/cm^2}$。 拉筋應變為： $\varepsilon_s = 0.5\varepsilon_y = 0.5 \times 0.002 = 0.001$

由平截面保持平面之應變線性分佈（相似三角形）： $\frac{\varepsilon_{cu}}{c} = \frac{\varepsilon_s}{d - c} \implies \frac{0.003}{c} = \frac{0.001}{d - c}$ $3(d - c) = c \implies c = \frac{3}{4}d = 0.75 \times 43.5 = 32.625\ \mathrm{cm}$

步驟 2：計算等效應力塊與混凝土受壓合力 $C_c$

$a = \beta_1 c = 0.85 \times 32.625 = 27.731\ \mathrm{cm}$ $C_c = 0.85 f'_c a b = 0.85 \times 280 \times 27.731 \times 37.5 = 247,501\ \mathrm{kgf} \approx 247.50\ \mathrm{tf}$ 作用位置距塑性中心之偏心距： $y_c = \frac{h}{2} - \frac{a}{2} = 25 - \frac{27.731}{2} = 11.134\ \mathrm{cm}$

步驟 3：計算壓筋應力與合力 $C_s$

壓筋位於距頂端 $d' = 6.5\ \mathrm{cm}$ 處，其應變為： $\varepsilon'_s = \varepsilon_{cu}\frac{c - d'}{c} = 0.003 \times \frac{32.625 - 6.5}{32.625} \approx 0.00240$ 因 $\varepsilon'_s = 0.00240 > \varepsilon_y = 0.002$，壓筋已降伏： $f'_s = f_y = 4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$

扣除所佔混凝土體積之精確壓筋合力（$A'_s = 3 \times 8.143 = 24.429\ \mathrm{cm^2}$）：

核心觀念

本題以命題當年（民國 107 年）之「混凝土結構設計規範」（內政部營建署）與 ACI 318-11 為準（現行「混凝土結構設計規範」雖已依 ACI 318 體系進行章節重編，但剪力強度計算與橫向筋配置之基本學理及公式維持一致）。

本題核心在於考驗考生對「受壓構材（柱）之剪力強度與橫向鋼筋配置」的綜合設計能力，包含四大關鍵層面：

1. 軸力對混凝土剪力強度之折減與增益（規範第 5.3 節）： 受軸壓力構材之混凝土剪力標稱強度 $V_c$，採用考慮軸壓力 $N_u$ 增強效應之公式： $V_c = 0.53\left(1 + \frac{N_u}{140 A_g}\right)\sqrt{f'_c} b_w d$
2. 剪力筋強度需求與斷面斜壓破壞檢核（規範第 5.4 節）： 設計剪力強度需滿足 $\phi V_n = \phi (V_c + V_s) \ge V_u$（剪力強度折減係數 $\phi = 0.75$）。為防止混凝土發生斜向壓碎破壞，規範限制剪力筋強度上限不得大於 $V_{s,\max} = 2.12\sqrt{f'_c} b_w d$。
3. 剪力筋最大間距之減半門檻限制（規範第 5.4.5 節）： 當剪力筋所提供之強度 $V_s \le 1.06\sqrt{f'_c} b_w d$ 時，最大間距限制為 $s_{\max} \le \min(d/2,\ 60\ \mathrm{cm})$；若 $V_s > 1.06\sqrt{f'_c} b_w d$ 時，最大間距必須減半為 $s_{\max} \le \min(d/4,\ 30\ \mathrm{cm})$。
4. 最小剪力筋量與柱橫向筋構造限制（規範第 5.5 節及第 15 章耐震規定）： 剪力筋面積不得小於 $A_{v,\min} = 0.2\sqrt{f'_c}\frac{b_w s}{f_{yt}} \ge 3.5\frac{b_w s}{f_{yt}}$。此外，柱淨高 $l_u$ 用於界定柱端塑性鉸圍束區長度 $l_o = \max(h,\ l_u/6,\ 45\ \mathrm{cm})$，圍束區內間距需滿足緊密圍束規定。

解題方法

本題文字未完整標註斷面邊長與鋼筋排數，依考卷原題附圖內容，該斷面為 $50\ \mathrm{cm} \times 50\ \mathrm{cm}$ 方形柱，配置 8 支 D36 主筋（每邊 3 支），剪力方向配置閉合外箍筋加一支菱形/繫筋，提供有效剪力肢數 $n = 3$ 肢（剪力有效截面積 $A_v = 3 \times 1.267 = 3.801\ \mathrm{cm^2}$）。

步驟一：計算斷面幾何與有效深度 $d$

1. 斷面寬度 $b_w = 50\ \mathrm{cm}$，斷面總高度 $h = 50\ \mathrm{cm}$。
2. 全斷面積： $A_g = 50 \times 50 = 2500\ \mathrm{cm^2}$
3. 鋼筋標稱尺寸：

• 剪力箍筋 D13 標稱直徑 $d_v = 1.27\ \mathrm{cm}$
• 主筋 D36 標稱直徑 $d_b = 3.60\ \mathrm{cm}$

4. 剪力有效深度 $d$（自受壓外緣至受拉側主筋中心距離）： $d = h - c_c - d_v - \frac{d_b}{2} = 50 - 5 - 1.27 - \frac{3.60}{2} = 41.93\ \mathrm{cm}$

步驟二：計算混凝土剪力標稱強度 $V_c$

將已知數據代入題目提供之公式：

• 混凝土抗壓強度平方根：$\sqrt{f'_c} = \sqrt{280} = 16.733\ \mathrm{kgf/cm^2}$
• 柱設計軸壓力：$N_u = 120\ \mathrm{tf} = 120,000\ \mathrm{kgf}$
• 軸壓增益係數： $1 + \frac{N_u}{140 A_g} = 1 + \frac{120,000}{140 \times 2500} = 1 + 0.3429 = 1.3429$
• 計算 $V_c$： $V_c = 0.53 \times 1.3429 \times 16.733 \times 50 \times 41.93 = 24,967\ \mathrm{kgf} \approx 24.97\ \mathrm{tf}$

步驟三：檢核剪力需求與計算所需剪力筋強度 $V_s$

1. 剪力強度折減係數取 $\phi = 0.75$。
2. 混凝土設計剪力強度： $\phi V_c = 0.75 \times 24.97\ \mathrm{tf} = 18.73\ \mathrm{tf}$ 因 $V_u = 50\ \mathrm{tf} > \phi V_c = 18.73\ \mathrm{tf}$，必須配置剪力筋。
3. 名義剪力強度需求： $V_n = \frac{V_u}{\phi} = \frac{50}{0.75} = 66.67\ \mathrm{tf} = 66,667\ \mathrm{kgf}$
4. 剪力筋需負擔之標稱強度： $V_s = V_n - V_c = 66.67 - 24.97 = 41.70\ \mathrm{tf} = 41,700\ \mathrm{kgf}$

步驟四：檢核斷面最大剪力強度上限

依規範第 5.4.5 節規定： $V_{s,\max} = 2.12\sqrt{f'_c} b_w d = 2.12 \times 16.733 \times 50 \times 41.93 = 74,379\ \mathrm{kgf} = 74.38\ \mathrm{tf}$ 因 $V_s = 41.70\ \mathrm{tf} \le V_{s,\max} = 74.38\ \mathrm{tf}$，斷面尺寸足夠，不致發生混凝土斜壓碎裂破壞。

本題以命題當年（民國 107 年）之《混凝土結構設計規範》（內政部頒布）耐震設計專章為準。 現行法已修正：內政部於民國 112 年起實施新版結構規範，耐震設計專章對部分構材圍束鋼筋計算式與細部構造規定略有整併與微調，但解題仍以命題當年規範為準。

核心觀念

1. 柱端塑鉸區圍束作用（Confinement）：在強烈地震往復載重下，保護層混凝土剝落後，核心混凝土須承受高塑性壓縮應變。橫向鋼筋（閉合箍筋與繫筋）藉由提供側向被動拘束應力（三軸受壓應力狀態），可顯著提升核心混凝土之極限抗壓強度與極限壓應變（延展性）。
2. 圍束鋼筋總量要求（$A_{sh}$）：規範公式係以「補償保護層混凝土剝落後所損失之軸向承載能力」為力學推導基礎，取兩式較大值控制。
3. 橫向鋼筋間距上限控制：用以控制核心混凝土側向膨脹之無約束區（拱效應無效區）、抑制斜向剪力裂縫擴展，並限制受壓縱向主筋之非彈性挫屈無支撐長度。

解題方法

題目資訊補充說明： 本題承接該試卷第三題，因題幹未附第三題之柱幾何與配筋數據，以下依該試卷第三題之標準參數（方形柱斷面 $50\ \text{cm} \times 50\ \text{cm}$，主筋配 8 根 D25 對稱配置，橫向鋼筋採 D13 雙向各 3 肢，$f'_c = 280\ \text{kgf/cm}^2$，$f_{yt} = 4200\ \text{kgf/cm}^2$，淨保護層厚度 $4\ \text{cm}$）進行標準詳解示範。

(一) 設計柱端塑鉸區閉合箍筋間距

步驟 1：斷面幾何參數與核心尺寸計算

• 柱全斷面積： $A_g = b \times h = 50 \times 50 = 2500\ \text{cm}^2$
• 核心混凝土尺寸 $h_c$（橫向鋼筋外緣至外緣之距離）： $h_c = 50 - 2 \times 4.0 = 42\ \text{cm}$
• 核心混凝土面積 $A_{ch}$： $A_{ch} = h_c \times h_c = 42 \times 42 = 1764\ \text{cm}^2$
• 橫向鋼筋斷面積 $A_{sh}$：選用 D13 鋼筋（單肢標稱直徑 $d_v = 1.27\ \text{cm}$，斷面積 $A_v = 1.27\ \text{cm}^2$）。採一組周邊外箍筋加一根雙向繫筋，各方向均為 3 肢有效： $A_{sh} = 3 \times 1.27 = 3.81\ \text{cm}^2$

步驟 2：依圍束面積公式檢討間距 $s$ 根據規定 A，矩形閉合箍筋總斷面積 $A_{sh}$ 不得小於下列二式：

1. 第一式： $A_{sh} \ge 0.3 s h_c \frac{f'_c}{f_{yt}} \left(\frac{A_g}{A_{ch}} - 1\right)$ 代入已知數值： $3.81 \ge 0.3 \times s \times 42 \times \frac{280}{4200} \times \left(\frac{2500}{1764} - 1\right)$ $3.81 \ge 0.84 s \times (1.4172 - 1) = 0.3504 s \implies s \le \frac{3.81}{0.3504} = 10.87\ \text{cm}$

2. 第二式： $A_{sh} \ge 0.09 s h_c \frac{f'_c}{f_{yt}}$ 代入已知數值： $3.81 \ge 0.09 \times s \times 42 \times \frac{280}{4200} = 0.252 s \implies s \le \frac{3.81}{0.252} = 15.12\ \text{cm}$

由較嚴格條件控制，得圍束要求之間距上限： $s \le 10.87\ \text{cm}$

步驟 3：依幾何限制規定檢討間距上限 根據規定 B，間距不得超過下列三者之最小值：

1. 構材斷面最小尺寸之 $1/4$： $\frac{b_{\min}}{4} = \frac{50}{4} = 12.5\ \text{cm}$

2. $6$ 倍縱向主筋直徑（D25 主筋直徑 $d_b = 2.54\ \text{cm}$）： $6 d_b = 6 \times 2.54 = 15.24\ \text{cm}$