108 高普考高考二級 土木工程 高等鋼筋混凝土學與設計 考古題詳解

核心觀念

本題評量鋼筋混凝土梁在剪力與扭力共同作用（Combined Shear and Torsion）​下之強度設計與橫向鋼筋配置分配。依命題當年（民國 108 年）適用之內政部「結構混凝土設計規範」（民國 100 年版）及「混凝土工程設計規範與解說（土木 401-100）」為準（現行法已於民國 112 年修正發布「結構混凝土設計規範」，但解題仍以命題當年規範為準）。

相關定義與法規公式如下：

1. 開裂扭矩（Cracking Torsion, $T_{cr}$）： $T_{cr} = 1.06 \lambda \sqrt{f'_c} \left( \frac{A_{cp}^2}{p_{cp}} \right) \quad (\mathrm{kgf\cdot cm})$ 其中 $A_{cp} = b \cdot h$ 為全斷面外周長包圍之面積，$p_{cp} = 2(b+h)$ 為斷面外周長，常重混凝土 $\lambda = 1.0$。
2. 空間桁架模式之扭力強度： 規範規定開裂後之扭矩全數由閉合箍筋與縱向鋼筋承擔（$T_c = 0$）： $\phi T_n \ge T_u$ $T_n = \frac{2 A_o A_t f_{yt}}{s} \cot \theta$ 非預力構件規範允許取 $\theta = 45^\circ$（$\cot \theta = 1.0$），且 $A_o = 0.85 A_{oh}$（$A_{oh}$ 為最外層閉合箍筋中心線所圍面積）。扭力強度折減因數採 $\phi = 0.75$。
3. 橫向閉合箍筋之分攤原則： 梁配置之雙肢閉合箍筋須同時提供抗剪與抗扭需求： $\frac{A_{v+t}}{s} = \frac{A_v}{s} + 2\frac{A_t}{s}$ 其中 $A_t$ 為抵抗扭力之單肢箍筋面積，$A_v$ 為抵抗剪力之雙肢箍筋面積。扣除抗扭所需後，剩餘箍筋量即可提供剪力強度 $V_s$。
4. 剪力設計強度（$\phi V_n$）： $V_c = 0.53 \lambda \sqrt{f'_c} b_w d$ $V_s = \frac{A_v f_{yt} d}{s}$ $\phi V_n = \phi (V_c + V_s) \quad (\text{剪力折減因數 } \phi = 0.75)$
5. 斷面尺度與混凝土抗壓斜撐檢核（防止斜壓碎裂）： $\sqrt{\left( \frac{V_u}{b_w d} \right)^2 + \left( \frac{T_u p_h}{1.7 A_{oh}^2} \right)^2} \le \phi \left( \frac{V_c}{b_w d} + 2.12 \sqrt{f'_c} \right)$

解題方法

本題題幹未直接給定材料強度與保護層厚度，依公務人員國家考試常規補充標準假設：

• 混凝土規定抗壓強度：$f'_c = 280\ \mathrm{kgf/cm^2}$（常重混凝土，$\lambda = 1.0$）
• 鋼筋降伏強度：$f_y = f_{yt} = 4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$（SD 420）
• 梁保護層厚度：採梁構件標準淨保護層 $c_c = 4.0\ \mathrm{cm}$（驗算：$h - d = 60 - 53 = 7\ \mathrm{cm} \approx c_c + d_b(\text{D13}) + d_b(\text{D29})/2 = 4.0 + 1.27 + 1.435 = 6.7\ \mathrm{cm}$，配置合理）
• 鋼筋標稱尺寸：D13 單肢面積 $A_b = 1.27\ \mathrm{cm^2}$、$d_b = 1.27\ \mathrm{cm}$

步驟一：計算斷面幾何性質與開裂扭矩 $T_{cr}$

1. 全斷面幾何性質： $A_{cp} = b \times h = 40 \times 60 = 2400\ \mathrm{cm^2}$ $p_{cp} = 2 \times (b + h) = 2 \times (40 + 60) = 200\ \mathrm{cm}$ $\frac{A_{cp}^2}{p_{cp}} = \frac{2400^2}{200} = 28,800\ \mathrm{cm^3}$
2. 開裂扭矩 $T_{cr}$（已知 $T_u = T_{cr}$）： $T_u = T_{cr} = 1.06 \times 1.0 \times \sqrt{280} \times 28,800 = 1.06 \times 16.733 \times 28,800 = 510,831\ \mathrm{kgf\cdot cm} \approx 5.108\ \mathrm{tf\cdot m}$

步驟二：計算最外層閉合箍筋幾何性質

以淨保護層厚度 $c_c = 4.0\ \mathrm{cm}$ 計算 D13 閉合箍筋中心線尺寸： $x_1 = b - 2\left(c_c + \frac{d_b}{2}\right) = 40 - 2\left(4.0 + \frac{1.27}{2}\right) = 30.73\ \mathrm{cm}$ $y_1 = h - 2\left(c_c + \frac{d_b}{2}\right) = 60 - 2\left(4.0 + \frac{1.27}{2}\right) = 50.73\ \mathrm{cm}$ $A_{oh} = x_1 \times y_1 = 30.73 \times 50.73 = 1558.93\ \mathrm{cm^2}$ $p_h = 2(x_1 + y_1) = 2(30.73 + 50.73) = 162.92\ \mathrm{cm}$ $A_o = 0.85 A_{oh} = 0.85 \times 1558.93 = 1325.09\ \mathrm{cm^2}$

步驟三：計算抗扭所需之箍筋量 $\frac{A_t}{s}$

由強度設計要求 $\phi T_n \ge T_u = T_{cr}$（取 $\phi = 0.75, \theta = 45^\circ$）： $T_n = \frac{T_u}{\phi} = \frac{510,831}{0.75} = 681,108\ \mathrm{kgf\cdot cm}$ 依空間桁架模式公式 $T_n = \frac{2 A_o A_t f_{yt}}{s} \cot 45^\circ$： $\frac{A_t}{s} = \frac{T_n}{2 A_o f_{yt}} = \frac{681,108}{2 \times 1325.09 \times 4200} = 0.06119\ \mathrm{cm^2/cm}$

核心觀念

本題旨在測驗考生對於我國《混凝土結構設計規範》（以命題當年民國 108 年之規範版本為準；現行法已逐步配合國際規範放寬高強度材料，但解題仍以命題當年為準）第十五章「耐震設計之特別規定」中，結構構材材料規格限制與容量設計法（Capacity Design）核心力學機制之理解。

耐震設計之核心哲學為「強柱弱梁」、「強剪弱彎」與「梁端塑鉸消能」。為確保結構在劇烈地震反覆往復載重下能產生穩定之非彈性變形（遲滯消能迴圈）而不發生早期脆性破壞，規範對承受地震力構材之「混凝土」與「鋼筋」訂有嚴格之品質與強度界限要求。

解題方法

本題為純法規與力學機理解釋題，切入點應分為「抵抗地震力構材之混凝土」與「耐震構材之鋼筋」兩大主軸，逐項列出規範之數值規定，並深入說明其背後的「力學原因與耐震考量」，展現高等鋼筋混凝土學之深度。

一、抵抗地震力構材之混凝土要求

1. 抗壓強度下限要求

• 規範規定：指定抗壓強度 $f_c'$ 不得小於 $210\text{ kgf/cm}^2$（約 $21\text{ MPa}$）。
• 力學原因：
• 保證混凝土內部具有足夠之剪力摩擦力、骨材互鎖效應（Aggregate Interlocking）及抗拉開裂強度。
• 確保主筋具有可靠之握裹與錨錠能力，防止大震下鋼筋提早發生握裹滑移失效。
• 提供核心混凝土受橫向圍束鋼筋拘束時所需之基本勁度與變形容量。

2. 輕質混凝土之特別限制

• 規範規定：
• 若使用輕質混凝土，其指定抗壓強度 $f_c'$ 下限同樣不得小於 $210\text{ kgf/cm}^2$。
• 其抗壓強度上限原則上不得超過 $350\text{ kgf/cm}^2$（除非經由試驗證明其構材具有足夠之韌性與強度）。
• 力學原因：輕質骨材本身孔隙率高、質地較脆，開裂面常直接貫穿骨材顆粒，缺乏常重混凝土之骨材互鎖抗剪能力，受壓破壞時極為脆性；故耐震構材對其強度上限嚴格控管，且其剪力與伸展長度計算皆需乘上輕質混凝土折減係數 $\lambda$ 進行折減補償。

二、耐震構材之鋼筋要求

規範針對承受地震引致之彎矩、軸力與剪力之耐震構材（如抗彎矩架構之梁、柱及結構牆），對其受力主筋與橫向鋼筋有嚴密之規定：

1. 鋼筋材質等級之選用

• 規範規定：耐震構材之縱向受力主筋應優先採用銲接級高延性鋼筋（如 CNS 560 SD420W 或 ASTM A706）。若採用一般竹節鋼筋（如 CNS 560 SD420 或 ASTM A615），則其物理試驗性質必須符合下列第 2 點之雙重力學指標。

2. 縱向受力鋼筋強度之兩大關鍵指標（耐震核心限制）

• 指標（一）：實際降伏強度與規定降伏強度之差值限制 $\text{實際 } f_y - \text{規定 } f_y \le 1250\text{ kgf/cm}^2 \quad (\approx 125\text{ MPa})$
• 力學原因： 依耐震容量設計原理，梁端塑鉸區之設計剪力 $V_e$ 是由梁端達到最大可能彎矩強度（超額標稱強度 $M_{pr}$）反算而得。若鋼筋實際降伏強度大幅超出設計規定值（超強現象，Overstrength），會使梁的實際抗彎容量巨幅上升，反向造成地震作用下傳入梁、柱與梁柱接頭之實質剪力遠大於原先設計預期，進而導致構材在彎矩未降伏消能前，先發生致命之脆性「剪力破壞」或「強梁弱柱」破壞。
• 指標（二）：實際抗拉強度與實際降伏強度之比值限制（抗拉降伏比） $\frac{\text{實際 } f_u}{\text{實際 } f_y} \ge 1.25$
• 力學原因： 此規定確保鋼筋在降伏之後具備充分之應變硬化（Strain Hardening）​能力。若 $f_u/f_y$ 接近 $1.0$，當某一斷面達到降伏後，塑性應變將完全鎖定在單一主要裂縫處，造成該裂縫寬度極度擴大而鋼筋快速頸縮斷裂；反之，若具備顯著之應變硬化，降伏處強度隨應變增大而上升，能迫使相鄰斷面接續降伏，促使塑鉸長度（Plastic Hinge Length）充分開展，大幅提升構材整體的旋轉延性與吸能容量。

3. 斷裂伸長率（延性容量）要求

• 規範規定：鋼筋拉伸試驗之斷裂伸長率必須達到 CNS 560 或 ASTM A706 規定之標準（依鋼筋直徑大小，標距內伸長率約不得小於 $10\% \sim 14\%$）。
• 力學原因：確保在劇烈地震往復拉壓時，鋼筋在斷裂前能承受足夠的大應變塑性變形。

核心觀念

本題要同時檢核梁的撓曲強度與剪力強度，並以較小的活載容量作為答案。依原卷所列規範版本計算，採用強度設計載重組合 $U=1.2D+1.6L$。題目未另列固定載重，故僅計入梁自重；取鋼筋混凝土單位重 $2.4\ \mathrm{tf/m^3}$。

依圖及題目給定資料，取 8-D32 為受拉鋼筋、其有效深度 $d=49\ \mathrm{cm}$；2-D25 為壓力鋼筋，距頂面 $d'=7\ \mathrm{cm}$。D13 箍筋為封閉箍筋，剪力計算取兩肢。

解題方法

梁自重為

簡支梁受均布自重時，跨中彎矩為

撓曲檢核時，令受拉鋼筋面積 $A_s=8(8.14)=65.12\ \mathrm{cm^2}$，壓力鋼筋面積 $A_s'=2(5.07)=10.14\ \mathrm{cm^2}$。取 $f'_c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$、$f_y=4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$、$\beta_1=0.85$、$E_s=2.04\times10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}$。

由應變相容與內力平衡：

計得中性軸深度 $c=25.63\ \mathrm{cm}$，壓力區深度 $a=\beta_1c=21.79\ \mathrm{cm}$。受拉鋼筋應變為

屬於撓曲應變轉換區，故

以壓力鋼筋已降伏計算，撓曲名目強度為

核心觀念

本題檢核擴柱後斷面在偏心軸力與彎矩共同作用下的強度，須用應變相容法建立軸力－彎矩互制關係，不能只分別比較軸力與彎矩的單項強度。

圖示中，擴大後斷面為 $60\times80\ \mathrm{cm}$；以 $80\ \mathrm{cm}$ 方向作為彎曲深度，截面中線為 $y=40\ \mathrm{cm}$。原柱的 6 支 D25 位於 $y=22、58\ \mathrm{cm}$，擴大區新增的 6 支 D25 位於 $y=7、73\ \mathrm{cm}$，每一排各 3 支。

題目未提供鋼筋降伏強度及箍筋型式，以下按一般考題慣例採用 D25 鋼筋面積 $A_s=5.07\ \mathrm{cm^2}$、$f_y=4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$、$E_s=2.04\times10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}$，並假設為箍筋柱。新舊混凝土共同作用，且不考慮界面滑移。

解題方法

採用平截面應變相容，令頂部為受壓側，極限混凝土壓應變取 $0.003$。混凝土等值矩形應力塊深度為

兩種混凝土的等值壓應力分別為

由圖示鋼筋位置及 $P_u/M_u=200/40=5\ \mathrm{tf/m}$，以應變相容計算各鋼筋列的應力，並調整中性軸深度，使名義軸力與名義彎矩的比例符合需求比例。計算得到 $c\approx63.1\ \mathrm{cm}$，因此

此時壓力區涵蓋頂部新增混凝土，以及原柱範圍內的原、新混凝土。混凝土壓力合力約為 $696.9\ \mathrm{tf}$，對截面中線之彎矩約為 $97.1\ \mathrm{tf\cdot m}$。

各鋼筋列按應變相容計算應力，鋼筋在混凝土壓力區內的部分須扣除其所取代的混凝土壓力。合併混凝土與鋼筋後，約得