108 高普考高考三級 工業工程 工程統計學與品質管制 考古題詳解

核心觀念

本題考的是離散型隨機變數的機率分配與期望值。依一般賭局設定，假設玩家與莊家的出手結果彼此獨立；令 $W$ 為玩家所得，先依四種出手組合計算機率，再用 $E(W)=\sum_w wP(W=w)$ 求期望值。

解題方法

玩家與莊家出手組合及玩家所得如下：

（一）$W$ 的機率模型

將兩種得到 $-2$ 的情況合併：

（二）玩家期望所得

（三）使玩家期望所得為負的莊家策略

令期望值小於零：

核心觀念

本題評量考生在《工程統計學與品質管制》中，對於**離散型機率分配（Discrete Probability Distributions）**的適用情境辨識、隨機變數定義與母體參數（Parameters）之掌握能力。

判斷適當機率分配的核心準則包括：

1. 試驗性質與獨立性：試驗是否為獨立的白努利試驗（Bernoulli trial）？是放回抽樣還是不放回抽樣？
2. 資料計數型態：

• 計件（Go/No-Go）：關注製品合格與否（二元分類），對應二項分配、幾何分配或負二項分配。
• 計點（Defects/Nonconformities）：在連續的空間、時間或單位成品上統計隨機發生的瑕疵個數，對應卜瓦松分配。

3. 終止條件與目標隨機變數：

• 固定試驗次數 $n$，計算成功次數 $\rightarrow$ 二項分配。
• 固定成功次數 $r$，計算所需總試驗次數 $\rightarrow$ 負二項分配。
• 有限母體不放回抽樣計算成功數 $\rightarrow$ 超幾何分配。
• 有限對稱離散結果等機率出現 $\rightarrow$ 離散均勻分配。

解題方法

針對題目所列五種情境，建立明確的隨機變數定義，選定最適之機率模型，並列出該分配的機率質量函數（Probability Mass Function, PMF），以嚴格釐清「題目給定之已知參數」與「製程或母體本質之未知參數」。

題目各小題深入分析

(一) $5000$ 片晶片不良品個數

• 隨機變數定義：設 $X$ 為檢驗 $5000$ 片晶片中所發現的不良品總片數。
• 情境分析： 每片晶片判定為良品或不良品，屬於互斥的二元結果。在製程穩定的假設下，每片晶片出現不良的機率均為 $p$，且各片晶片之間相互獨立，符合白努利試驗條件。在固定的檢驗數量 $n$ 下計算不良品數，最適模型為二項分配（Binomial Distribution）。
• 機率質量函數： $P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}, \quad x = 0, 1, 2, \dots, n$
• 已知參數值： 試驗總數（樣本大小）$n = 5000$。
• 未知參數值： 單片晶片之製程不良率 $p$（滿足 $0 \le p \le 1$）。

註：若實務上晶片不良率極低（$p \to 0$ 且 $n$ 極大），雖工程上常以卜瓦松分配 $\text{Poisson}(\lambda = np)$ 作為近似計算，但問題本質所對應的精確理論分配仍為二項分配。

(二) 圓周率小數點後的數值

• 隨機變數定義：設 $X$ 為圓周率 $\pi$ 展開後任取一位小數所呈現的數字。
• 情境分析： 圓周率小數點後的數碼皆落在集合 $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ 之中。在數學與統計學性質上，$\pi$ 被視為常態數（Normal number），其小數點後每一位數字出現 $0$ 到 $9$ 的頻率長期而言完全對稱均等，任一數字出現的機率皆為 $\frac{1}{10}$。此情境適用離散均勻分配（Discrete Uniform Distribution）。
• 機率質量函數： $P(X = x) = \frac{1}{k} = \frac{1}{10}, \quad x \in \{0, 1, 2, \dots, 9\}$
• 已知參數值：
• 可能取值下限 $a = 0$
• 可能取值上限 $b = 9$
• 可能取值個數（狀態數）$k = 10$
• 未知參數值： 無未知參數（該分配由離散數字集合及均等機率完全決定）。

(三) 每個晶片上的缺點數

• 隨機變數定義：設 $X$ 為單一片晶片（單位檢驗面積／實體）表面上發生的缺點（如刮痕、雜質顆粒、微裂紋）總數。
• 情境分析： 缺點為計點型數據（Nonconformities）。單一片晶片上理論上可容納多個缺點，發生位置隨機且獨立，極小面積內出現兩個以上缺點的機率極低。這是在固定單位檢驗區間內發生的稀有事件計數，最適模型為卜瓦松分配（Poisson Distribution）。
• 機率質量函數： $P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}, \quad x = 0, 1, 2, \dots$
• 已知參數值： 檢驗單位大小 $t = 1$（單片晶片）。
• 未知參數值： 每片晶片之平均缺點數 $\lambda$（或單位面積平均缺點發生率，滿足 $\lambda > 0$）。

(四) 樂透每期開獎中獎數字的個數

• 隨機變數定義： 此題在統計學考題中，標準語意指「一張選定號碼的樂透彩券，在開獎時對中中獎號碼的個數」，設此對中之中獎號碼數為 $X$。
• 情境分析：

核心觀念

本題評量工業工程中「統計品質管制（SQC）」的核心單元——製程能力分析（Process Capability Analysis）。涉及的關鍵觀念與公式包括：

1. 潛在製程能力指標（Process Capability Index, $C_p$）： $C_p = \frac{USL - LSL}{6\sigma} = \frac{T}{6\sigma}$ 其中 $USL$ 為規格上限（Upper Specification Limit）、$LSL$ 為規格下限（Lower Specification Limit）、$T = USL - LSL$ 為規格公差範圍，分母 $6\sigma$ 代表常態分配下涵蓋 $99.73\%$ 產品的天然製程寬度（Process Spread）。
2. 製程變異比率（Capability Ratio, $CR$）： $CR = \frac{6\sigma}{USL - LSL} = \frac{1}{C_p}$
3. 實質製程能力指標（$C_{pk}$）： 同時兼顧「變異大小（散布寬度）」與「製程中心偏移（平均值位置）」的指標： $C_{pk} = \min(C_{pu}, C_{pl}) = \min\left(\frac{USL - \mu}{3\sigma}, \frac{\mu - LSL}{3\sigma}\right) = (1 - k)C_p$ 其中 $\mu$ 為製程平均值，$M = \frac{USL + LSL}{2}$ 為規格中心，$k = \frac{|\mu - M|}{\frac{T}{2}}$ 為偏移係數（$0 \le k \le 1$ 時代表平均值仍在規格界限內）。

解題方法

(一) $C_p$ 為何不定義成 $\frac{6\sigma}{USL-LSL}$？

指標之所以定義為 $C_p = \frac{USL - LSL}{6\sigma}$ 而非其倒數 $\frac{6\sigma}{USL - LSL}$，主要基於以下三項工程與統計管理考量：

1. 符合「能力指標愈大代表品質愈優良」的正向心理與管理慣例（Higher-is-Better）：

• 在品質工程中，稱之為「能力（Capability）」的指標，實務溝通上普遍期望具備「正向特性」——數值愈高，代表製程水準愈高、不良率愈低。
• 若製程技術改進、變異縮小（即 $\sigma \to 0$），定義為 $\frac{USL - LSL}{6\sigma}$ 時數值會上升；反之，若定義為 $\frac{6\sigma}{USL - LSL}$，則變異愈小數值反而趨近於 $0$，形成「反指標」，直觀解讀極為不便。

2. 「可用公差空間」對「實際佔用空間」的倍數直觀概念（車庫與車身比喻）：

• 將規格寬度 $USL - LSL$ 比喻為「車庫寬度」，製程自然散布 $6\sigma$ 比喻為「汽車寬度」。
• $C_p = \frac{\text{車庫寬度}}{\text{汽車寬度}}$ 表示公差範圍能夠容納幾個 $6\sigma$ 製程寬度：
• $C_p = 1.0$：車寬恰好等於庫寬，製程在無偏移下之理論不良率為 $0.27\%$（$2700\text{ ppm}$）。
• $C_p = 1.33$：車庫寬度為車寬的 $1.33$ 倍（容許 $8\sigma$），符合傳統工業之合格製程標準。
• $C_p = 2.0$：車庫寬度為車寬的 $2$ 倍（容許 $12\sigma$），即達到 Six Sigma 品質水準。
• 若採倒數形式，上述基準值會變成 $1.0$、$0.75$、$0.5$，缺乏「倍數容納裕度」的直接物理意義。

3. 倒數形式在品管上另有命名，稱為「製程變異比率（$CR$）」：

• 早期品管文獻確實存在 $CR = \frac{6\sigma}{USL - LSL}$ 之定義，用以表示「製程散布佔總規格公差的百分比」。
• 但為統整各項能力評估指標（如 $C_{pk}$、$C_{pm}$ 等均維持「愈大愈好」的形式），品管學界與產業界一致將 $C_p$ 標準化為公差除以製程變異，並以 $C_p$ 作為衡量製程潛力的代表符號。

(二) 定義 $C_{pk}$，並舉一例說明 $C_{pk}$ 比 $C_p$ 優良

1. $C_{pk}$ 的定義

$C_{pk}$ 稱為「實質製程能力指標」或「考慮中心偏移之製程能力指標」。其定義為製程平均值 $\mu$ 到兩側規格界限之距離，分別除以 $3\sigma$ 後取兩者之較小值： $C_{pk} = \min\left(C_{pu}, C_{pl}\right) = \min\left(\frac{USL - \mu}{3\sigma}, \frac{\mu - LSL}{3\sigma}\right)$ 亦可透過中心偏移係數 $k$ 表示為： $C_{pk} = (1 - k) C_p$

核心觀念

本題評量實驗設計（Design of Experiments, DOE）中**二水準部分因子設計（Two-Level Fractional Factorial Design）**之符號意義、解析度（Resolution）及別名結構（Alias Structure）。

1. 部分因子設計符號 $2_R^{k-p}$ 的組成定義：

• 底數 $2$：各因子均為 $2$ 個水準（通常編碼為低水準 $-1$ 與高水準 $+1$）。
• 指數 $k$：實驗中包含的因子總數（Factors）。
• 指數 $-p$：採用 $\frac{1}{2^p}$ 部分實施法（Fraction），即選取 $p$ 個獨立生成元（Generators），總實驗處理組合數（Run size）為 $N = 2^{k-p}$。
• 下標羅馬數字 $R$：代表實驗設計的解析度（Resolution）。

2. 解析度的字詞長度定義：

• 解析度 $R$ 為定義關係式（Defining Relation）中，最短字詞之字母（因子）個數（Minimum Word Length）。

3. 別名定理（Alias Theorem）：

• 在解析度為 $R$ 的設計中，階數為 $r$ 的效應只會與階數為 $s \ge R - r$ 的效應互為別名（Aliased / Confounded）。
• 當 $p=1$（半部實施，Half-fraction）時，定義關係中僅含單一非恆等式字詞，其長度必等於 $R$。因此，互為別名的兩效應階數嚴格滿足： $r + s = R$

解題方法

(一) 解釋 $2_V^{5-1}$

符號 $2_V^{5-1}$ 各組成要素之統計意義如下：

1. 底數 $2$：

• 實驗中每個因子皆取 $2$ 個水準（2 Levels），通常以符號「$-$」代表低水準、「$+$」代表高水準。

2. 指數 $5$：

• 本設計共探討 $5$ 個實驗因子（設為 $A, B, C, D, E$）。

3. 指數項之 $-1$ 與實驗次數：

• 採用 $\frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$ 的半部實施法（Half-fraction）。
• 實驗僅需施行 $1$ 個生成元（如令最高階交互作用決定第 5 個因子：$E = ABCD$）。
• 總實驗次數為 $N = 2^{5-1} = 2^4 = 16$ 次（相較於全因子設計的 $2^5 = 32$ 次，實驗規模減半）。

4. 下標羅馬數字 $V$（解析度為五，Resolution V）：

• 定義關係中字詞的最少字母數為 $5$（即定義關係式為 $I = ABCDE$）。
• 混雜特性：
• 主效應不會與任何其他主效應混雜，亦不會與二階交互作用混雜。
• 二階交互作用彼此之間互不混雜。
• 效應之混雜只會發生在主效應與四階交互作用之間，以及二階交互作用與三階交互作用之間。

(二) 主效用與幾階交互作用是否互為別名？

核心觀念

本題評量多元線性迴歸模型（Multiple Linear Regression）中模型配適度（Goodness of Fit）的評估指標及其統計性質，核心觀念涵蓋以下要點：

1. 變異量分解公式（ANOVA Identity）： 總平方和（Total Sum of Squares, $SST$）分解為迴歸平方和（Regression Sum of Squares, $SSR$）與殘差平方和（Error Sum of Squares, $SSE$）： $SST = SSR + SSE$ 其中樣本數為 $n$，迴歸模型包含截距項共 $p$ 個參數（即 $k = p - 1$ 個自變數）。

• $SST = \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2$，自由度為 $n - 1$。
• $SSR = \sum_{i=1}^n (\hat{y}_i - \bar{y})^2$，自由度為 $p - 1$（即 $k$）。
• $SSE = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2$，自由度為 $n - p$（即 $n - k - 1$）。

2. 決定係數（$R^2$）的定義與限制：模型所能解釋之變異占總變異的比例；缺點是其值隨自變數個數增加而單調非遞減（Monotonically Non-decreasing）。
3. 調整後決定係數（$R_{\mathrm{adj}}^2$）的定義與懲罰機制：引進自由度進行無偏調整，以均方（Mean Squares）取代平方和，藉此懲罰引入無效或冗餘自變數的模型。

解題方法

一、 決定係數（Coefficient of Determination, $R^2$）之定義

決定係數 $R^2$ 用以衡量依變數 $y$ 的總變異中，可由迴歸模型中的自變數所解釋的百分比： $R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}$

• 數值範圍：在具截距項之普通最小平方法（OLS）模型下，$0 \le R^2 \le 1$。
• 統計意義：$R^2$ 越接近 1，代表樣本觀測點越貼近迴歸超平面，配適度越高。

二、 調整後決定係數（Adjusted $R^2$, $R_{\mathrm{adj}}^2$）之定義

調整後決定係數考慮了模型中自變數個數與樣本數的比例，將 $SSE$ 與 $SST$ 分別除以其對應的自由度，即以殘差均方（$MSE$）與總均方（$MST$）計算： $R_{\mathrm{adj}}^2 = 1 - \frac{SSE / (n - p)}{SST / (n - 1)} = 1 - \frac{MSE}{MST}$ 其中：

• $n$ 為總樣本數。
• $p$ 為模型估計參數總數（含截距項 $\beta_0$，即 $p = k + 1$，$k$ 為自變數個數）。

$R_{\mathrm{adj}}^2$ 與 $R^2$ 之代數轉換關係為： $R_{\mathrm{adj}}^2 = 1 - \left( \frac{n - 1}{n - p} \right) (1 - R^2)$

三、 說明 $R_{\mathrm{adj}}^2$ 為何優於 $R^2$

在模型評估與變數選取時，$R_{\mathrm{adj}}^2$ 明顯優於傳統 $R^2$，原因如下：

1. 避免非客觀的單調遞增特性（克服偽膨脹）： 根據最小平方法原理，在現有模型中加入任意新的自變數（即使該變數與應變數毫無關聯），$SSE$ 絕不會增加（$SSE_{\text{new}} \le SSE_{\text{old}}$）。因此，$R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST}$ 必然單調遞增或維持不變。這導致 $R^2$ 具有「偏好變數愈多之模型」的系統性缺陷，無法反映新增變數是否具備實質解釋力。

核心觀念

本題考查 $2^{3-1}$ 部分因子實驗的效應估計、迴歸係數與效應的關係，以及 $t$ 檢定的自由度與雙尾 $p$ 值。

因子以 $-1,+1$ 編碼時，因子效應為「高水準平均反應減低水準平均反應」；迴歸係數則是效應的一半：

$\text{Effect}=\bar y_{+}-\bar y_{-},\qquad \text{Coef}=\frac{\text{Effect}}{2}$

此部分因子設計中，$A$ 與 $BC$、$B$ 與 $AC$、$C$ 與 $AB$ 別名，因此表 4 的因子效應實際上是對應別名效應的合併估計。

解題方法

先將表 3 每個組合的兩次反應值取平均：

四個組合的總平均為 $226.5$，與表 4 的 Constant 一致。

①～③：計算效應

因子 $A$ 的高水準組合是 $a,abc$，低水準組合是 $c,b$：

$\text{Effect}_A=\frac{288.5+230.5}{2}-\frac{199.5+187.5}{2}=66$

因子 $B$ 的高水準組合是 $b,abc$，低水準組合是 $c,a$：

$\text{Effect}_B=\frac{187.5+230.5}{2}-\frac{199.5+288.5}{2}=-35$

因子 $C$ 的高水準組合是 $c,abc$，低水準組合是 $a,b$：

$\text{Effect}_C=\frac{199.5+230.5}{2}-\frac{288.5+187.5}{2}=-23$

④～⑥：換算迴歸係數