108 高普考高考三級 工業工程 工程經濟學 考古題詳解

核心觀念

本題考驗工程經濟學的等值現金流與資本回收。將分期投入的建設成本折算到同一時間點，再令其等於完工後 50 年等額年淨營收的現值。

期末發生的等額年金現值公式為：

其中 $P$ 為年金起始時點的現值，$A$ 為每年年底的等額金額，$i$ 為利率，$n$ 為年數。

解題方法

以第 0 年（現在）為基準點。前三年各於年底投資 5 億元，因此投資時點分別是第 1、2、3 年底；橋樑自第 3 年起收費，50 年營收則自第 3 年底開始，至第 52 年底。

設每年年底營收淨額為 $A$ 億元。

先將三筆投資折算至現在：

50 年營收年金的第一筆在第 3 年底，先將年金折算至第 2 年底，再折算至現在：

核心觀念

本題考查永久使用資產的經濟比較。兩方案的使用年限相同且可永久使用，適合比較永久年值成本（capitalized cost），也就是把永久期間所有成本折算至期初的現值。年利率 $i=5\%$，令 $v=1/(1+i)$。

成本現值較低者較經濟。兩案的成本都發生在期初或期末；年度維修費用按年底支付，整建費用依題意按每 20 年一次支付。

解題方法

先分別計算兩案的永久成本現值。

A 案

期初建造成本為 $6{,}000$。第 1 年至第 19 年每年底支付 $20$，是 19 期普通年金；之後不再支付維修費。整建費用 $300$ 自第 20 年底開始，每隔 20 年支付一次，支付時點為第 20、40、60……年底。

因此：

其中整建費現值是首項為 $(1.05)^{-20}$、公比為 $(1.05)^{-20}$ 的無窮等比級數。計算得：

B 案

核心觀念

本題考驗以現值法進行設備汰換分析，比較「保留現有設備」的衛冕者方案，與「出售現有設備、改買新設備」的挑戰者方案。

現有機器已使用 5 年，過去支付的 $20{,}000$ 是沉沒成本，不列入今天的決策比較。若保留舊機器，公司放棄了現在可出售取得的 $8{,}000$，因此這筆金額是保留方案的機會成本。

兩方案的評估期間都取未來 5 年：舊機器尚有 5 年預估壽命，新機器壽命也是 5 年。以年利率 $i=8\%$ 計算各方案未來成本的現值，選擇現值成本較低者。

解題方法

設年金現值因子為

衛冕者：保留現有機器

保留舊機器的成本包括：

• 放棄現在出售可得的 $8{,}000$，視為今天的機會成本。
• 未來 5 年每年支付作業成本 $3{,}000$。

因此，衛冕者的現值成本為

挑戰者：出售舊機器並購置新機器

核心觀念

本題考固定本金貸款的等額年金攤還。每年年底支付相同金額，但每期付款由利息與本金兩部分組成：

貸款本金為設備價格的 $40\%$：

解題方法

年利率 $i=5\%$，貸款年數 $n=10$，每年年底等額付款。以年金現值公式計算每年付款額 $A$：