107 高普考高考三級 工業工程 工程經濟學 考古題詳解

核心觀念

本題屬於工程經濟學中經典的​「資本限額下的方案互斥組合評估」（Capital Budgeting with Project Interdependence），涉及以下核心觀念：

1. 方案之相依性與邏輯限制（Project Interdependence & Logical Constraints）：

• 獨立方案（Independent）：如 $B_1$ 與 $B_2$ 互不干擾。
• 互斥方案（Mutually Exclusive）：如 $C_1$ 與 $C_2$，兩者不可兼得，即 $C_1 + C_2 \le 1$。
• 配套／條件相依方案（Contingent / Prerequisite）：
• 選 $C_1$ 或 $C_2$ 必須搭配 $B_2$：$C_1 \le B_2$ 且 $C_2 \le B_2$。
• 選 $D$ 必須搭配 $C_1$：$D \le C_1$。

2. 互斥方案組合轉換（Formulating Mutually Exclusive Alternatives）： 在資金有限的情況下，將存在邏輯相依性的獨立方案展開為所有「技術可行」的互斥組合（Mutually Exclusive Combinations / Bundles），再納入預算上限進行篩選。
3. 等額年金現值因子與淨現值法（PW Criterion & Value Additivity）： 各方案壽期均為 $N = 4$ 年，壽期相同可直接使用淨現值法（Present Worth, $PW$）評估。淨現值具備價值可加性（Value Additivity），組合之淨現值等於各組成方案之淨現值總和： $P/A \text{ 因子公式：}(P/A, i, N) = \frac{(1+i)^N - 1}{i(1+i)^N}$ $PW = -I + A \times (P/A, i, N)$

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解題方法

(一) 列出可行的方案組合

題目設定可用資金上限為 $\text{\char36}48,000$（即 $48$ 千元）。

步驟 1：依技術相依性與互斥性展開邏輯組合

• 若不選 $B_2$：無法選擇 $C_1$、$C_2$；又因無法選 $C_1$，故亦無法選 $D$。此時僅能選擇不投資（$\emptyset$）或單獨選擇獨立方案 $B_1$。
• 若選擇 $B_2$：
• 不選 $C$ 系列：可得組合 $\{B_2\}$。
• 選 $C_2$：因 $C_1$ 與 $C_2$ 互斥，無法選 $C_1$（連帶無法選 $D$），可得組合 $\{B_2, C_2\}$。
• 選 $C_1$：可進一步決定是否搭配 $D$，可得組合 $\{B_2, C_1\}$ 與 $\{B_2, C_1, D\}$。
• 獨立方案 $B_1$ 可與上述任何組合任意搭配，共計可衍生出 10 種邏輯互斥組合。

步驟 2：帶入預算限制（總投資額 $\le 48$ 千元）進行篩選

編號	方案組合	構成項目	期初投資額（千元）	預算可行性（$\le 48$）
1	$\text{DN}$（Do-Nothing）	不投資	$0$	可行
2	$A_1$	$\{B_1\}$	$50$	超過預算，不可行
3	$A_2$	$\{B_2\}$	$30$	可行
4	$A_3$	$\{B_1, B_2\}$	$50 + 30 = 80$	超過預算，不可行
5	$A_4$	$\{B_2, C_1\}$	$30 + 14 = 44$	可行
6	$A_5$	$\{B_2, C_2\}$	$30 + 15 = 45$	可行
7	$A_6$	$\{B_2, C_1, D\}$	$30 + 14 + 10 = 54$	超過預算，不可行
8	$A_7$	$\{B_1, B_2, C_1\}$	$50 + 30 + 14 = 94$	超過預算，不可行
9	$A_8$	$\{B_1, B_2, C_2\}$	$50 + 30 + 15 = 95$	超過預算，不可行
10	$A_9$	$\{B_1, B_2, C_1, D\}$	$50 + 30 + 14 + 10 = 104$	超過預算，不可行

核心觀念

本題為典型的「互斥方案評估」（Mutually Exclusive Alternatives Evaluation）結合「稅後現金流量分析」（After-Tax Cash Flow, ATCF）。解題核心架構包含三大要素：

1. 稅後現金流量（ATCF）推導公式： 　折舊費用（Depreciation, $D_t$）本身為非現金支出，但依我國所得稅法規定可作為費用列支，因而產生「折舊抵稅」（Tax Shield）效益：

$\text{應稅所得（Taxable Income）} = -OC_t - D_t$

$\text{所得稅（Income Tax）} = (-OC_t - D_t) \times t = -t \cdot OC_t - t \cdot D_t \quad (\text{負值代表稅負節省/抵減})$

$$\begin{aligned} ATCF_t &= \text{稅前現金流量} - \text{所得稅} \\ &= -OC_t - \left(-t \cdot OC_t - t \cdot D_t\right) \\ &= -OC_t (1 - t) + t \cdot D_t \end{aligned}$$

　其中 $OC_t$ 為營業成本（Operating Cost）、$t$ 為所得稅率（$25\%$）、$t \cdot D_t$ 為折舊抵稅利益。

• 期初（$t=0$）：投資支出不受所得稅影響，$ATCF_0 = -\text{期初成本}$。
• 期末（$t=N$）：殘值回收若等於期末帳面價值（Book Value, $BV_N$），則無資產處分損益，$ATCF_N = -OC_N (1 - t) + t \cdot D_N + \text{殘值}$。

2. 折舊方法：

• 直線折舊法（SL）：每年折舊額固定：

$D_t = \frac{\text{成本} - \text{殘值}}{N}$

• 年數合計折舊法（S.Y.D）：折舊基數乘上遞減比率，分母為年數總和 $S = \frac{N(N+1)}{2}$：

$D_t = (\text{成本} - \text{殘值}) \times \frac{N - t + 1}{S}$

3. 不同服務年限之方案評估準則：

• 年值法（Annual Worth, AW）：在「重置假設」（Repeatability Assumption）下，兩方案只需各自依其服務壽期計算等額年值（$AW$），不需取最小公倍數（LCM），即可直接評估比較。$AW$ 較大者（負值較小者，即年成本較低者）勝出。
• 現值法（Present Worth, PW）：若方案壽期不同（A 案 6 年、B 案 10 年），不可直接比較單一週期的現值，必須以兩者壽期的「最小公倍數」（LCM，本題為 $\text{LCM}(6, 10) = 30$ 年）建立相同的分析期間，或是將等額年值轉換為 30 年之現值：

$PW(30) = AW \times (P/A, i\%, 30)$

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解題方法

(一) 製作 A、B 兩案之稅後現金流量表

1. 方案 A 之計算（直線折舊法，壽期 6 年）

• 期初投資：$P_A = \text{\char36}400{,}000$
• 殘值：$S_A = \text{\char36}100{,}000$
• 每年折舊額：

$D_A = \frac{400{,}000 - 100{,}000}{6} = \text{\char36}50{,}000$

• 每年折舊抵稅：$t \cdot D_A = \text{\char36}50{,}000 \times 25\% = \text{\char36}12{,}500$
• 每年稅後營業成本：$-OC \times (1 - t) = -\text{\char36}80{,}000 \times (1 - 0.25) = -\text{\char36}60{,}000$
• 營業期（$t=1 \sim 6$）每年淨營業 ATCF：

$ATCF_t = -\text{\char36}60{,}000 + \text{\char36}12{,}500 = -\text{\char36}47{,}500$

• 第 6 年期末帳面價值 $BV_6 = \text{\char36}400{,}000 - 6 \times \text{\char36}50{,}000 = \text{\char36}100{,}000 = \text{殘值}$，無處分損益。第 6 年底另取回殘值 $\text{\char36}100{,}000$。

【方案 A 稅後現金流量表】（單位：新台幣元）

年度 ($t$)	稅前營業現金流量	折舊費用 ($D_t$)	應稅所得	所得稅 ($25\%$)	殘值處分	稅後現金流量 ($ATCF_t$)
0	$-400{,}000$	—	—	—	—	$-400{,}000$
1	$-80{,}000$	$50{,}000$	$-130{,}000$	$-32{,}500$	—	$-47{,}500$
2	$-80{,}000$	$50{,}000$	$-130{,}000$	$-32{,}500$	—	$-47{,}500$
3	$-80{,}000$	$50{,}000$	$-130{,}000$	$-32{,}500$	—	$-47{,}500$
4	$-80{,}000$	$50{,}000$	$-130{,}000$	$-32{,}500$	—	$-47{,}500$
5	$-80{,}000$	$50{,}000$	$-130{,}000$	$-32{,}500$	—	$-47{,}500$
6	$-80{,}000$	$50{,}000$	$-130{,}000$	$-32{,}500$	$100{,}000$	$+52{,}500$

(註：第 6 年之 $ATCF_6 = -\text{\char36}47{,}500 + \text{\char36}100{,}000 = +\text{\char36}52{,}500$)

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2. 方案 B 之計算（年數合計法，壽期 10 年）

• 期初投資：$P_B = \text{\char36}1{,}000{,}000$
• 殘值：$S_B = \text{\char36}200{,}000$，應計折舊總額 $= \text{\char36}1{,}000{,}000 - \text{\char36}200{,}000 = \text{\char36}800{,}000$
• 年數總和分母：$S = \frac{10 \times 11}{2} = 55$
• 各年折舊：$D_t = \text{\char36}800{,}000 \times \frac{11 - t}{55}$
• 每年稅後營業成本：$-\text{\char36}20{,}000 \times (1 - 0.25) = -\text{\char36}15{,}000$
• 每年折舊抵稅：$t \cdot D_t = 0.25 \times \text{\char36}800{,}000 \times \frac{11 - t}{55} = \frac{\text{\char36}40{,}000 \times (11 - t)}{11}$
• 第 10 年底帳面價值 $BV_{10} = \text{\char36}200{,}000 = \text{殘值}$，無處分損益。第 10 年底取回殘值 $\text{\char36}200{,}000$。

【方案 B 稅後現金流量表】（單位：新台幣元，四捨五入至整數位）

年度 ($t$)	稅前營業現金流量	折舊費用 ($D_t$)	折舊抵稅 ($0.25 D_t$)	稅後營業成本	殘值處分	稅後現金流量 ($ATCF_t$)
0	$-1{,}000{,}000$	—	—	—	—	$-1{,}000{,}000$
1	$-20{,}000$	$145{,}455$	$36{,}364$	$-15{,}000$	—	$+21{,}364$
2	$-20{,}000$	$130{,}909$	$32{,}727$	$-15{,}000$	—	$+17{,}727$
3	$-20{,}000$	$116{,}364$	$29{,}091$	$-15{,}000$	—	$+14{,}091$
4	$-20{,}000$	$101{,}818$	$25{,}455$	$-15{,}000$	—	$+10{,}455$
5	$-20{,}000$	$87{,}273$	$21{,}818$	$-15{,}000$	—	$+6{,}818$
6	$-20{,}000$	$72{,}727$	$18{,}182$	$-15{,}000$	—	$+3{,}182$
7	$-20{,}000$	$58{,}182$	$14{,}545$	$-15{,}000$	—	$-455$
8	$-20{,}000$	$43{,}636$	$10{,}909$	$-15{,}000$	—	$-4{,}091$
9	$-20{,}000$	$29{,}091$	$7{,}273$	$-15{,}000$	—	$-7{,}727$
10	$-20{,}000$	$14{,}545$	$3{,}636$	$-15{,}000$	$200{,}000$	$+188{,}636$

(註：第 10 年之 $ATCF_{10} = -\text{\char36}15{,}000 + \text{\char36}3{,}636 + \text{\char36}200{,}000 = +\text{\char36}188{,}636$)

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(二) 以年值法與現值法評估方案選擇

折現率採用稅後最低要求報酬率 $i = 8\%$。

1. 年值法（Annual Worth, AW）評估

核心觀念

本題評量工程經濟學中名目利率（Nominal Interest Rate, $r$）​與實際利率／有效利率（Effective Interest Rate, $i$ 或 $i_e$）​之基本定義、週期轉換，以及在特定付款週期（Payment Period, PP）​與複利週期（Compounding Period, CP）​不一致時的融資決策準則。

1. 基本符號定義：

• $i_{cp}$：每一複利週期的利率（Rate per compounding period）。
• $m$：特定目標期間內所包含的複利週期數。

2. 名目利率公式： 名目利率不考慮「利滾利」的複利效果，屬於單利線性累加： $r = m \times i_{cp}$
3. 實際利率公式： 實際利率考量期內複利效果，反映資金真正的實質成本或收益： $i = (1 + i_{cp})^m - 1 = \left(1 + \frac{r}{m}\right)^m - 1$
4. 決策準則： 當公司角色為「付款方（負債還款／採購融資）」時，利息支出屬於現金流出（成本）。因此在相同還款條件下，實際利率最低者所負擔之總利息成本最少，為最佳方案。

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解題方法

(一) 求三方案的半年及一年的名目利率

名目利率之計算遵循週期比例線性調整（目標期間的名目利率 = 複利週期利率 $\times$ 目標期間包含之複利期數）。

• 方案 1：每年 $9\%$，按季複利

• 複利週期為季（1 年 4 季），季利率： $i_q = \frac{9\%}{4} = 2.25\%$
• 半年名目利率（半年含 2 季）： $r_{\text{半年}} = 2 \times 2.25\% = 4.5\%$
• 一年名目利率（一年含 4 季）： $r_{\text{一年}} = 4 \times 2.25\% = 9.0\%$

• 方案 2：每季 $3\%$，按季複利

• 複利週期為季，季利率已給定為： $i_q = 3.0\%$
• 半年名目利率（半年含 2 季）： $r_{\text{半年}} = 2 \times 3\% = 6.0\%$
• 一年名目利率（一年含 4 季）： $r_{\text{一年}} = 4 \times 3\% = 12.0\%$

• 方案 3：每年 $8.8\%$，按月複利

• 複利週期為月（1 年 12 個月），月利率： $i_m = \frac{8.8\%}{12} = \frac{11}{15}\% \approx 0.7333\%$
• 半年名目利率（半年含 6 個月）： $r_{\text{半年}} = 6 \times \left(\frac{8.8\%}{12}\right) = \frac{8.8\%}{2} = 4.4\%$
• 一年名目利率（一年含 12 個月）： $r_{\text{一年}} = 8.8\%$

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(二) 求三方案的半年及一年的實際利率與最佳方案決策

實際利率需將複利週期之利率進行複利累乘計算。

• 方案 1：季利率 $i_q = 2.25\% = 0.0225$

• 半年實際利率（含 2 個複利週期）： $i_{\text{半年}} = (1 + 0.0225)^2 - 1 = 1.04550625 - 1 = 4.550625\% \approx 4.551\%$
• 一年實際利率（含 4 個複利週期，亦可由半年實際利率平方推導）： $i_{\text{一年}} = (1 + 0.0225)^4 - 1 = (1 + i_{\text{半年}})^2 - 1 \approx 9.3083\% \approx 9.31\%$

• 方案 2：季利率 $i_q = 3\% = 0.03$

• 半年實際利率（含 2 個複利週期）： $i_{\text{半年}} = (1 + 0.03)^2 - 1 = 1.0609 - 1 = 6.09\%$
• 一年實際利率（含 4 個複利週期）： $i_{\text{一年}} = (1 + 0.03)^4 - 1 = (1 + i_{\text{半年}})^2 - 1 = (1.0609)^2 - 1 \approx 12.5509\% \approx 12.55\%$

核心觀念

本題屬於工程經濟學中​「不等壽命互斥方案評估」（Mutually Exclusive Alternatives with Unequal Service Lives）​的典型決策問題。核心評估原理與相關公式如下：

1. 不等壽命方案的評估原則：

• 當互斥方案的服務壽命不同（甲為 10 年、乙為 5 年）時，不可直接比較兩者單一週期之現值（PW），否則會因服務期間長短不同而失真。
• 標準評估方式係基於「等額重複假設」（Identical Replacement Assumption），採以下兩種方法之一：
• 等額年值法（Annual Worth, AW / Equivalent Uniform Annual Cost, EUAC）：在等額重複假設下，各方案在單一週期所計算的年等額成本，即等於其在最小公倍數（LCM）週期下的年等額成本。因此只需分別以各自的服務壽命計算 $AW$ 或 $EUAC$，數值即可直接客觀比較，是最簡捷的評估方法。
• 現值法（Present Worth, PW）配合最小公倍數分析期（LCM）：取壽命最小公倍數（$\text{LCM}(10, 5) = 10$ 年）為研究期（Study Period），並考慮乙方案在第 5 年末進行重置。

2. 資本回收成本（Capital Recovery, CR）公式：

• 將初設成本 $P$ 與終期殘值 $S$ 轉換為年等額成本： $CR = P(A/P, i, N) - S(A/F, i, N) = (P - S)(A/P, i, N) + S \cdot i$

3. 等額年成本（EUAC）與淨等額年值（AW）公式：

• 總等額年成本： $EUAC = CR + AOC$ （其中 $AOC$ 為年營運成本 Annual Operating Cost）
• 若以淨等額年值（$AW$）表示（現金流入為正、流出為負），則 $AW = -EUAC$。

4. 複利因子公式（$i = 15\%$）：

• 資本回收因子：$(A/P, i, N) = \frac{i(1+i)^N}{(1+i)^N - 1}$
• 基金儲存因子：$(A/F, i, N) = \frac{i}{(1+i)^N - 1} = (A/P, i, N) - i$
• 等額現值因子：$(P/A, i, N) = \frac{(1+i)^N - 1}{i(1+i)^N}$
• 現值因子：$(P/F, i, N) = (1+i)^{-N}$

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解題方法

本題評估兩供應商為「服務性方案」（僅包含支出與殘值，無獨立營收），應選擇等額年成本（$EUAC$）最低（或淨等額年值 $AW$ 最大）的方案。採用等額年成本法（EUAC）​進行求解。

步驟一：計算相關複利因子（$i = 15\%$）

1. 針對甲公司（$N = 10$ 年）： $(1 + 0.15)^{10} \approx 4.04556$ $(A/P, 15\%, 10) = \frac{0.15 \times 4.04556}{4.04556 - 1} = \frac{0.60683}{3.04556} \approx 0.19925$ $(P/A, 15\%, 10) = \frac{1}{(A/P, 15\%, 10)} \approx 5.0188$

2. 針對乙公司（$N = 5$ 年）： $(1 + 0.15)^5 \approx 2.01136$ $(A/P, 15\%, 5) = \frac{0.15 \times 2.01136}{2.01136 - 1} = \frac{0.30170}{1.01136} \approx 0.29832$ $(A/F, 15\%, 5) = (A/P, 15\%, 5) - 0.15 = 0.29832 - 0.15 = 0.14832$

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步驟二：計算甲公司的等額年成本（$EUAC_{\text{甲}}$）

甲公司壽命 $N = 10$ 年，起始成本 $P = \text{\char36}8,000$，年成本 $AOC = \text{\char36}3,500$，無殘值（$S = \text{\char36}0$）： $CR_{\text{甲}} = P(A/P, 15\%, 10) - S(A/F, 15\%, 10) = 8,000 \times 0.19925 - 0 = 1,594.00 \text{ 元}$ $EUAC_{\text{甲}} = CR_{\text{甲}} + AOC = 1,594.00 + 3,500 = 5,094.00 \text{ 元}$ （若以淨等額年值表示，則 $AW_{\text{甲}} = -\text{\char36}5,094.00$）

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步驟三：計算乙公司的等額年成本（$EUAC_{\text{乙}}$）

乙公司壽命 $N = 5$ 年，起始成本 $P = \text{\char36}13,000$，年成本 $AOC = \text{\char36}1,600$，殘值 $S = \text{\char36}2,000$： 利用資本回收公式：

核心觀念

本題測驗工程經濟學中資金時間價值（Time Value of Money, TVM）​之核心運算，主要包含以下觀念與公式：

1. 名目利率與期利率轉換： 若約定名目年利率為 $r$，每年複利 $m$ 次，則每期（季）實質利率為： $i = \frac{r}{m}$
2. 現金流量等值原則（Equivalence Principle）： 在特定利率下，任何時間點的現金流入折現值（或終值）必等於現金流出折現值（或終值）。
3. 等額年金現值因子與終值因子：

• 等額期末年金現值公式： $(P/A, i, n) = \frac{(1+i)^n - 1}{i(1+i)^n} = \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}$
• 等額期末年金終值公式： $(F/A, i, n) = \frac{(1+i)^n - 1}{i}$
• 複利現值因子： $(P/F, i, n) = (1+i)^{-n}$

4. 期初年金（Annuity Due）與延遲年金（Deferred Annuity）​之時點對齊。

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解題方法

1. 基本參數設定與時間軸規劃

• 基期設定：以小孩現年 5 歲為現在時點（$t = 0$）。
• 計息週期：帳戶約定年利率 $r = 8\%$，按季複利，故以「季」為基本分析週期： $i = \frac{8\%}{4} = 2\% = 0.02$
• 提款階段（大學學費）：
• 小孩滿 18 歲入學，距今經過 $18 - 5 = 13$ 年，即 $13 \times 4 = 52$ 季。
• 學費為每年年初提撥 $\text{\char36}60,000$，連續 4 年（即 18 歲、19 歲、20 歲、21 歲各年年初），對應的季時間點分別為 $t = 52, 56, 60, 64$。
• 將 4 筆學費折現至 18 歲入學年初（$t = 52$ 季末），其等值現值 $PW_{18}$ 為： $PW_{18} = 60,000 \times \left[ 1 + (1+i)^{-4} + (1+i)^{-8} + (1+i)^{-12} \right]$ 代入 $i = 0.02$： $(1.02)^{-4} \approx 0.923845$ $(1.02)^{-8} \approx 0.853490$ $(1.02)^{-12} \approx 0.788493$ $PW_{18} = 60,000 \times (1 + 0.923845 + 0.853490 + 0.788493) = 60,000 \times 3.565828 \approx 213,949.7 \text{ 元}$

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2. 計算第 (二) 小題：現在一次提撥金額（$P_0$）

若於小孩 5 歲現在（$t = 0$）一次存入金額 $P_0$，此筆款項須等值於未來 4 年大學學費在 $t = 0$ 的總現值。

將 $PW_{18}$ 折現 52 季至 $t = 0$： $P_0 = PW_{18} \times (P/F, 2\%, 52) = PW_{18} \times (1.02)^{-52}$

計算折現因子： $(1.02)^{52} = \left[(1.02)^4\right]^{13} \approx (1.082432)^{13} \approx 2.800328$ $(1.02)^{-52} = \frac{1}{2.800328} \approx 0.357101$

求得一次提撥金額： $P_0 = 213,949.7 \times 0.357101 \approx 76,401.7 \text{ 元}$ 取整數為 $76,402$ 元。

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3. 計算第 (一) 小題：每季季末存款金額（$A$）

存款規劃自小孩 5 歲第一季季末開始，一直到小孩達 17 歲為止：