107 專技高考高等考試 工業工程技師 工程經濟 考古題詳解

核心觀念

本題評量工程經濟中公共工程計畫常見的資本化成本（Capitalized Cost, $CC$）​與非等額週期性現金流量（Periodic Cash Flows）​的現值折算。

1. 資本化成本（$CC$）：當公共設施或專案之效益與維護持續至永久（$n \to \infty$）時，未來所有支出折現至專案啟用時點（$t = 0$）的現值總和。
2. 等額年值與永續年金公式： 若每年的等額年成本為 $A$，市場年利率為 $i$，則資本化成本為： $CC = \frac{A}{i}$
3. 週期性現金流量折算： 當現金流量以 $k$ 年為一個循環週期重複發生且持續至永久時，有兩種標準推導路徑：

• 年值轉化法：將單一週期（$k$ 年）內各期不等的成本換算為等額年值 $A$，再以 $CC = \frac{A}{i}$ 求解。
• 週期複利法：先求出單一循環週期末（第 $k$ 年底）之總終值 $FW_k$，將其視為每隔 $k$ 年發生一次之週期性重置成本，直接代入週期永續公式： $CC = \frac{FW_k}{(1+i)^k - 1}$

解題方法

公園維護週期 $k = 5$ 年，年利率 $i = 4\%$，費用持續至永久。

步驟一：計算單一週期於第 5 年底之總終值（$FW_5$）

為避免現值折現過程中產生過早四捨五入的累積誤差，將第 1 年底至第 5 年底之各筆維護成本，統一折算至該週期末（第 5 年底）：

$FW_5 = 100(1+0.04)^4 + 100(1+0.04)^3 + 120(1+0.04)^2 + 120(1+0.04)^1 + 150$

各年度終值逐項計算如下：

• 第 1 年底成本（$100$ 萬元）：$100 \times (1.04)^4 = 100 \times 1.16985856 = 116.9859$ 萬元
• 第 2 年底成本（$100$ 萬元）：$100 \times (1.04)^3 = 100 \times 1.124864 = 112.4864$ 萬元
• 第 3 年底成本（$120$ 萬元）：$120 \times (1.04)^2 = 120 \times 1.0816 = 129.7920$ 萬元
• 第 4 年底成本（$120$ 萬元）：$120 \times (1.04)^1 = 120 \times 1.04 = 124.8000$ 萬元
• 第 5 年底成本（$150$ 萬元）：$150$ 萬元

加總得單一週期在第 5 年底的等值總成本：

核心觀念

1. 互斥方案（Mutually Exclusive Alternatives）決策本質： 在互斥方案的評估中，企業只能從中挑選一個方案執行。由於不同方案的「投資規模（初始成本）」往往不同，絕對不可直接比較個別方案的內部報酬率（IRR）大小。
2. 增額投資報酬率法（Incremental Rate of Return Analysis, $\Delta ROR$ 或 $\Delta IRR$）： 評估互斥方案時，若採用投資報酬率法，必須進行「增額現金流量分析」：

• 檢驗各獨立方案之報酬率是否達到最低吸引投資報酬率（$MARR$）。
• 將合格方案依「初始投資額」由小到大排列，以投資額小者為基準（防守者），投資額大者為挑戰者。
• 計算增額現金流量 $\Delta(挑戰者 - 防守者)$，並求解增額投資報酬率 $\Delta i^*$。
• 決策準則：若 $\Delta i^* \ge MARR$，表示增加投資額是劃算的，應選擇「投資額較大之方案（挑戰者）」；若 $\Delta i^* < MARR$，則選擇「投資額較小之方案（防守者）」。

解題方法

步驟一：個別方案之可行性檢驗（個別 $IRR$ 計算）

令淨現值方程式 $NPV = 0$，求各方案的投資報酬率 $i^*$：

• 方案 A： $NPV_A = -1000 + \frac{500}{1+i_A^*} + \frac{643.1}{(1+i_A^*)^2} = 0$ 令 $x = 1 + i_A^*$，同乘以 $x^2$ 得： $1000x^2 - 500x - 643.1 = 0$ 利用一元二次方程式公式解： $x = \frac{500 + \sqrt{(-500)^2 - 4(1000)(-643.1)}}{2 \times 1000} = \frac{500 + \sqrt{250000 + 2572400}}{2000} = \frac{500 + \sqrt{2822400}}{2000}$ 因為 $\sqrt{2822400} = 1680$，所以： $x = \frac{500 + 1680}{2000} = \frac{2180}{2000} = 1.09$ 得 $i_A^* = 1.09 - 1 = 9\%$。 由於 $i_A^* = 9\% \ge MARR (4\%)$，方案 A 在經濟上具備可行性。

• 方案 B： $NPV_B = -800 + \frac{420}{1+i_B^*} + \frac{506}{(1+i_B^*)^2} = 0$ 令 $y = 1 + i_B^*$，同乘以 $y^2$ 得： $800y^2 - 420y - 506 = 0$ 利用一元二次方程式公式解： $y = \frac{420 + \sqrt{(-420)^2 - 4(800)(-506)}}{2 \times 800} = \frac{420 + \sqrt{176400 + 1619200}}{1600} = \frac{420 + \sqrt{1795600}}{1600}$ 因為 $\sqrt{1795600} = 1340$，所以： $y = \frac{420 + 1340}{1600} = \frac{1760}{1600} = 1.10$ 得 $i_B^* = 1.10 - 1 = 10\%$。 由於 $i_B^* = 10\% \ge MARR (4\%)$，方案 B 在經濟上亦具備可行性。

步驟二：建立增額現金流量表（A 方案挑戰 B 方案）

方案 B 初始投資為 $\text{\char36}800$，方案 A 初始投資為 $\text{\char36}1,000$。以 B 為基準方案（防守者），A 為挑戰方案（挑戰者），計算增額現金流量 $\Delta(A - B)$：

核心觀念

本題為典型的「退休金規劃與跨期資金收支平衡」問題，核心在於處理不同計息週期與現金流頻率的匹配，以及受通貨膨脹影響的等比級數現金流折現。涉及之核心觀念與公式如下：

1. 利率轉換（名目利率、計息期利率與有效年利率）：

• 題目給定年利率 $r = 4\%$，按季計息（一年計息 4 次），每季實質利率為： $i_q = \frac{r}{m} = \frac{4\%}{4} = 1\% = 0.01$
• 退休後生活費以「年」為提領週期，因此退休期的年折現率必須使用有效年利率（Effective Annual Rate, $i_a$）： $i_a = (1 + i_q)^4 - 1 = (1 + 0.01)^4 - 1 \approx 4.0604\%$

2. 等比級數現金流現值公式（Geometric Gradient Series）：

• 題目已提供公式：當折現率 $i \ne g$（$g$ 為成長率／通膨率）時，首期發生於期末之 $N$ 期等比現金流，在第 0 期（首期提領的前一期）的現值為： $P = A_1 \left[ \frac{1 - (1+g)^N (1+i)^{-N}}{i - g} \right]$

3. 等額年金終值公式（Ordinary Annuity Future Value）：

• 每季存入固定金額 $A_q$，共存入 $n$ 期，在最後一期存入時點的累積終值為： $F = A_q (F/A, i_q, n) = A_q \left[ \frac{(1 + i_q)^n - 1}{i_q} \right]$

4. 資金收支平衡原理（資金時間價值）：

• 以「65 歲退休當天」為資金平衡基準點（Focal Date）： $\text{積累期儲蓄在 65 歲之終值 } F_{65} = \text{退休期生活費在 65 歲之現值 } P_{65}$

解題方法

步驟一：劃分時點與期數

• 積累期（儲蓄階段）：
• 李先生現年 45 歲，預計 65 歲退休，期間共 $65 - 45 = 20$ 年。
• 存款頻率為每季一次，共 $n = 20 \times 4 = 80$ 季。
• 存款自下一季開始（45.25 歲）至 65 歲生日當天，恰為 80 期的普通年金（期末存入）。
• 退休期（生活費支出階段）：
• 預計壽命至 95 歲，退休生活共 $95 - 65 = 30$ 年（$N = 30$ 期）。
• 生活費支出採工程經濟學標準的期末假定（End-of-Period Convention），第一筆退休生活費支出發生於 66 歲生日（退休後滿一整年之期末）。

步驟二：推算退休期首年生活費 $A_1$

• 依題意，生活費自今天（45 歲）起每年成長 $g = 2\%$。
• 今日等值生活費為 $400,000$。
• 第一筆退休生活費發生在 66 歲生日，自 45 歲起共經歷 $66 - 45 = 21$ 年的物價上漲： $A_1 = 400,000 \times (1 + 0.02)^{21} \approx 400,000 \times 1.515666 = 606,267 \text{ 元}$

步驟三：計算 65 歲時所需退休金總現值 $P_{65}$

• 退休期折現率採用有效年利率 $i_a = (1.01)^4 - 1 \approx 0.040604$（即 $4.0604\%$）。
• 將 $A_1 = 606,267$、$g = 0.02$、$i_a = 0.040604$、$N = 30$ 代入等比級數現值公式： $(1 + g)^{30} = (1.02)^{30} \approx 1.811362$ $(1 + i_a)^{-30} = (1.01)^{-120} \approx 0.302995$ $(1 + g)^{30} (1 + i_a)^{-30} \approx 1.811362 \times 0.302995 \approx 0.548833$
• 計算中括號內之現值因子： $\frac{1 - 0.548833}{0.040604 - 0.02} = \frac{0.451167}{0.020604} \approx 21.89705$
• 求得 65 歲退休時帳戶應有的總準備金：

核心觀念

1. 稅後現金流量（After-Tax Cash Flow, ATCF）基本模型： 在工程經濟學中，評估設備投資必須考量折舊產生的稅盾效果（Tax Shield）與處分資產時的損益稅負。

• 稅前現金流量：$BTCF_t = R_t - E_t$（營運收入減營運支出；設備購置期初為負流出，期末出售為正流入）。
• 課稅所得：$TI_t = BTCF_t - D_t + \text{處分資產利益（或} - \text{處分資產損失）}$。
• 當期所得稅負：$T_t = TI_t \times t$（$t$ 為所得稅率；若公司整體獲利，負課稅所得代表抵減其他營業利益，產生所得稅節省）。
• 稅後現金流量： $ATCF_t = BTCF_t - T_t = (1 - t)BTCF_t + t \cdot D_t$

2. 年數合計法折舊（Sum-of-the-Years'-Digits Depreciation, SOYD）：

• 總年數合計： $\sum_{j=1}^N j = \frac{N(N+1)}{2}$
• 第 $t$ 年折舊率： $f_t = \frac{N - t + 1}{\sum_{j=1}^N j}$
• 第 $t$ 年折舊額（以成本 $B$ 扣除預估殘值 $S$ 為折舊基數）： $D_t = (B - S) \times f_t$
• 第 $t$ 年期末帳面價值（Book Value）： $BV_t = BV_{t-1} - D_t$

3. 資產處分稅負分析： 若使用年限屆滿售出資產，處分損益為「售得金額（殘值）$-$ 期末帳面價值（$BV_N$）」。
4. 現值法（Present Worth, PW / NPV）決策準則： 以最低可接受報酬率（MARR）折現，若 $PW \ge 0$，代表投資方案的報酬率大於或等於 MARR，該投資計畫值得採納。
5. 法規適用依據： 本題以命題當年（民國 107 年）題目設定之營利事業所得稅率 $17\%$ 為準。（現行所得稅法第 5 條營利事業所得稅率已修正為 $20\%$，但解題仍依題意 $17\%$ 計算）。

解題方法

（一）編製稅後現金流量表

步驟 1：計算年數合計法之折舊額與帳面價值

• 購置成本 $B = \text{\char36}300,000$
• 預計使用年限 $N = 4$ 年
• 預估殘值 $S = \text{\char36}20,000$
• 應計折舊總額：$B - S = 300,000 - 20,000 = \text{\char36}280,000$
• 年數合計分母： $\sum_{j=1}^4 j = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$

各年度折舊額計算如下：

• 第 1 年（$t=1$）： $D_1 = 280,000 \times \frac{4}{10} = \$112,000 \implies BV_1 = 300,000 - 112,000 = \$188,000$
• 第 2 年（$t=2$）： $D_2 = 280,000 \times \frac{3}{10} = \$84,000 \implies BV_2 = 188,000 - 84,000 = \$104,000$
• 第 3 年（$t=3$）： $D_3 = 280,000 \times \frac{2}{10} = \$56,000 \implies BV_3 = 104,000 - 56,000 = \$48,000$
• 第 4 年（$t=4$）： $D_4 = 280,000 \times \frac{1}{10} = \$28,000 \implies BV_4 = 48,000 - 28,000 = \$20,000$

步驟 2：分析第 4 年資產處分損益

• 4 年後系統售得金額（殘值收入）為 $\text{\char36}20,000$。
• 第 4 年期末帳面價值 $BV_4 = \text{\char36}20,000$。
• 處分損益 $= 20,000 - 20,000 = \text{\char36}0$（無處分利益亦無損失，無需額外計稅）。

步驟 3：計算各年課稅所得（TI）、所得稅負（T）與稅後現金流量（ATCF）

• 第 0 年：
• 設備購置支出 $BTCF_0 = -\text{\char36}300,000$
• 非屬當期費用，無折舊與所得稅，$ATCF_0 = -\text{\char36}300,000$
• 第 1 年：
• $BTCF_1 = +\text{\char36}100,000$
• $TI_1 = BTCF_1 - D_1 = 100,000 - 112,000 = -\text{\char36}12,000$
• 由於公司整體獲利，該年度負課稅所得產生稅盾節稅效益： $T_1 = -12,000 \times 17\% = -\$2,040 \text{（節稅流入）}$
• $ATCF_1 = BTCF_1 - T_1 = 100,000 - (-2,040) = +\text{\char36}102,040$
• 第 2 年：
• $BTCF_2 = +\text{\char36}100,000$
• $TI_2 = BTCF_2 - D_2 = 100,000 - 84,000 = +\text{\char36}16,000$
• $T_2 = 16,000 \times 17\% = +\text{\char36}2,720$
• $ATCF_2 = BTCF_2 - T_2 = 100,000 - 2,720 = +\text{\char36}97,280$
• 第 3 年：
• $BTCF_3 = +\text{\char36}100,000$
• $TI_3 = BTCF_3 - D_3 = 100,000 - 56,000 = +\text{\char36}44,000$
• $T_3 = 44,000 \times 17\% = +\text{\char36}7,480$
• $ATCF_3 = BTCF_3 - T_3 = 100,000 - 7,480 = +\text{\char36}92,520$
• 第 4 年：
• 營運產能增加現金流入 $\text{\char36}100,000$，設備出售殘值流入 $\text{\char36}20,000$： $BTCF_4 = 100,000 + 20,000 = +\$120,000$
• $TI_4 = (100,000 - 28,000) + 0 = +\text{\char36}72,000$
• $T_4 = 72,000 \times 17\% = +\text{\char36}12,240$
• $ATCF_4 = BTCF_4 - T_4 = 120,000 - 12,240 = +\text{\char36}107,760$

步驟 4：彙整編製稅後現金流量表