108 專技高考高等考試 工業工程技師 工程經濟 考古題詳解

108 年・專技高考・高等考試・工業工程技師
試題代碼 工程經濟

第 一 題20 分

大地公司計畫出租一部機器給客戶，租期 77 年，每年租金為 \50{,}000$。

假設年利率 15%15\%。若大地公司希望顧客在年初付款，且每次支付相同金額，若該客戶要在期初採用一次付清方式，請問客戶得付多少？

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核心觀念

本題評量期初年金現值（Annuity Due Present Worth / 先付年金現值）​之計算。

  1. 先付年金（Annuity Due）：各期年金支付時點皆位於「期初」（第 0,1,…,n−10, 1, \dots, n-1 期初）。本題租期為 77 年，每年年初付款，代表 77 次付款時點分別為第 00 年初（即 t=0t = 0）、第 11 年初（t=1t = 1）、……、直至第 66 年初（t=6t = 6）。
  2. 普通年金現值因子（Uniform Series Present Worth Factor, (P/A,i,n)(P/A, i, n)）： (P/A,i,n)=(1+i)n−1i(1+i)n(P/A, i, n) = \frac{(1+i)^n - 1}{i(1+i)^n}
  3. 期初年金與普通年金之轉換關係：
  • 方式一（拆解法）：第 00 期的付款發生在期初（t=0t = 0），無須折現；其餘 n−1n-1 期付款相當於自第 11 期至第 n−1n-1 期的普通年金折現： P=A+A×(P/A,i,n−1)=A×[1+(P/A,i,n−1)]P = A + A \times (P/A, i, n-1) = A \times [1 + (P/A, i, n-1)]
  • 方式二（整體前推法）：將 nn 期均等支付視為普通年金折現至 t=−1t = -1，再乘上 (1+i)(1+i) 複利至 t=0t = 0： P=A×(P/A,i,n)×(1+i)P = A \times (P/A, i, n) \times (1 + i)

解題方法

客戶選擇在「期初採用一次付清」，即求此 77 期年初租金在第 00 期（t=0t = 0）的等值現值總額 PP。

1. 現金流量參數

  • 每期租金 A = \50{,}000$
  • 年折現率（年利率）i=15%i = 15\%
  • 租期總年數 n=7n = 7 年（共支付 77 次）

2. 計算步驟與推導

採用拆解法計算：

將 77 筆付款分解為「第 00 年初付清的第 11 筆租金」加上「第 11 至第 66 年初（即第 11 至第 66 期末）支付的 66 筆年金折現值」：

P=A×[1+(P/A,15%,6)]P = A \times [1 + (P/A, 15\%, 6)]

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第 二 題30 分

某大學工程學院正考慮接受一位畢業校友的捐贈，作為學校的發展基金。該校友提供給學校下列 33 種可行的選項（只能 33 選 11）：

計畫 I：\70{,}000$（現在）。

計畫 II：\20{,}000（每年），從（每年），從 1年後開始算起，總共年後開始算起，總共8$ 年。

計畫 III：\50{,}000（從現在算起第（從現在算起第 3年），另外年），另外$80{,}000（從現在算起第（從現在算起第 5$ 年）。

校內工程學院評估此 33 種計畫，同時假設年通貨膨脹率為 3%3\%，而最低可接受報酬率（Minimum Attractive Rate of Return, MARR）訂為 10%10\%。

試問：以現值（PW）分析計算，該工程學院應接受那一個捐贈計畫最有利？

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核心觀念

本題評估多個互斥投資／受贈方案（Mutually Exclusive Alternatives），核心考點在於​「現值分析法（Present Worth Analysis, PW）」​以及​「通貨膨脹（Inflation）與折現率的整合應用」：

  1. 現值法評估準則：受贈方案屬於收益型計畫（Inflow），在相同基準下，應選擇現值（PW）最大者為最有利方案。
  2. 通貨膨脹與實質／名目利率（費雪方程式, Fisher Equation）：
  • 校友承諾之捐贈金額為未來各期確切收到的貨幣數額，屬於​「當時幣值」（Actual Dollars / Then-current Dollars）。
  • 評估當時幣值之現金流量時，折現率必須使用包含通貨膨脹溢價的​「市場折現率／名目最低可接受報酬率（Inflation-adjusted MARR, ifi_f）」。
  • 根據費雪方程式，實質最低可接受報酬率（ii）與通貨膨脹率（ff）合成之折現率 ifi_f 為： if=i+f+(i×f)i_f = i + f + (i \times f)
  1. 複利現值因子公式：
  • 單筆支付現值因子（Present Worth Compound Amount Factor）： (P/F,if,n)=(1+if)−n(P/F, i_f, n) = (1 + i_f)^{-n}
  • 等額年金現值因子（Equal-Payment-Series Present Worth Factor）： (P/A,if,n)=(1+if)n−1if(1+if)n=1−(1+if)−nif(P/A, i_f, n) = \frac{(1 + i_f)^n - 1}{i_f(1 + i_f)^n} = \frac{1 - (1 + i_f)^{-n}}{i_f}

解題方法

步驟一：計算含通貨膨脹之市場折現率（ifi_f）

已知實質最低可接受報酬率 i=10%i = 10\%，年通貨膨脹率 f=3%f = 3\%： if=10%+3%+(10%×3%)=13.3%=0.133i_f = 10\% + 3\% + (10\% \times 3\%) = 13.3\% = 0.133

步驟二：計算各捐贈計畫之現值（PW）

  • 計畫 I：現在（t=0t = 0）一次性受贈 \70{,}000 $$PW_I = \70{,}000$$

  • 計畫 II：從第 11 年底起至第 88 年底，每年受贈 \20{,}000（（A = $20{,}000, n = 8） $$PW_{II} = A \times (P/A, 13.3\%, 8) = 20{,}000 \times \left[ \frac{1 - (1 + 0.133)^{-8}}{0.133} \right]$$ 計算年金現值因子： $$(1.133)^{-8} \approx 0.368265$$ $$(P/A, 13.3\%, 8) = \frac{1 - 0.368265}{0.133} \approx 4.749887$$ 代入求得現值： $$PW_{II} = 20{,}000 \times 4.749887 \approx \94{,}998$$

  • 計畫 III：第 33 年底受贈 \50{,}000、第、第 5年底受贈年底受贈$80{,}000$

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第 三 題25 分

假設某一現金流量圖及各期間之利率如下表所示。

利率資料：

期間00–1111–2222–3333–4444–5555–6666–77
利率10%10\%8%8\%8%8\%10%10\%12%12\%12%12\%12%12\%

現金流量（期末）：

時點0011223344556677
現金流量\0$\200$\0$-\200$\300$\0$\400$\500$

（一）試計算現值（Present Worth, PW）（在 t=0t=0）、未來值（Future Worth, FW）（在 t=7t=7）及全期之年值（Annual Worth, AW），各為多少？（15 分）

（二）77 年間之平均年利率為多少？（10 分）

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核心觀念

本題考查各期間利率不同時的現值與未來值計算，以及以等效年利率表示七年累積報酬率。

令第 tt 年末現金流量為 CtC_t，第 kk 個期間利率為 iki_k，則：

  • 現值須將每筆現金流量按經過期間的利率逐期折現。
  • 未來值須將每筆現金流量按其發生後的各期利率逐期複利。
  • 七年平均年利率採幾何平均，使其七年累積因子與各期利率的實際累積因子相同。

解題方法

（一）現值、未來值與年值

1. 現值 PWPW

各期間利率依序為 10%、8%、8%、10%、12%、12%、12%10\%、8\%、8\%、10\%、12\%、12\%、12\%。將各筆非零現金流量折現至 t=0t=0：

PW=2001.10−200(1.10)(1.08)(1.08)+300(1.10)(1.08)(1.08)(1.10)+400(1.10)(1.08)(1.08)(1.10)(1.12)(1.12)+500(1.10)(1.08)(1.08)(1.10)(1.12)(1.12)(1.12)=716.6047\begin{aligned} PW &=\frac{200}{1.10} -\frac{200}{(1.10)(1.08)(1.08)} +\frac{300}{(1.10)(1.08)(1.08)(1.10)}\\ &\quad+\frac{400}{(1.10)(1.08)(1.08)(1.10)(1.12)(1.12)}\\ &\quad+\frac{500}{(1.10)(1.08)(1.08)(1.10)(1.12)(1.12)(1.12)}\\ &=716.6047 \end{aligned}

因此，PW\approx \716.60$。

2. 未來值 FWFW

將各筆非零現金流量複利至 t=7t=7：

FW=200(1.08)(1.08)(1.10)(1.12)(1.12)(1.12)−200(1.10)(1.12)(1.12)(1.12)+300(1.12)(1.12)(1.12)+400(1.12)+500=1,420.9100\begin{aligned} FW &=200(1.08)(1.08)(1.10)(1.12)(1.12)(1.12)\\ &\quad-200(1.10)(1.12)(1.12)(1.12)\\ &\quad+300(1.12)(1.12)(1.12)\\ &\quad+400(1.12)+500\\ &=1{,}420.9100 \end{aligned}

因此，FW\approx \1{,}420.91$。

3. 七年全期年值 AWAW

先計算七年的總累積因子：

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第 四 題25 分

長利公司面臨兩種投資機會。

第一個方案為投資 \210{,}000（適度地土地開發為條件），（適度地土地開發為條件），1年後年後$90{,}000之淨收入可以獲得。第二年後各年之收入分別為之淨收入可以獲得。第二年後各年之收入分別為$90{,}000、、$510{,}000、、$0及及$120{,}000$。

另一個方案則為投資 \200{,}000，，2年後可以獲年後可以獲$400{,}000之淨收入，再之淨收入，再2年後又可獲年後又可獲$400{,}000$ 之淨收入。

該二方案之現金流量差額（Difference in Cash Flow）如下表：

年末001122334455
現金流量差額-\10{,}000$\90{,}000$-\310{,}000$\510{,}000$-\400{,}000$\120{,}000$

（一）觀察此現金流量差額圖，你有何看法？（5 分）

（二）試決定此現金流量差額之內部投資報酬率（Internal Rate of Return, IRR）。（20 分）

相關公式：

F=A[(1+i)N−1i]F=A\left[\frac{(1+i)^N-1}{i}\right] P=A[(1+i)N−1i(1+i)N]P=A\left[\frac{(1+i)^N-1}{i(1+i)^N}\right] P=G[(1+i)N−iN−1i2(1+i)N]P=G\left[\frac{(1+i)^N-iN-1}{i^2(1+i)^N}\right] P=A1[1−(1+g)N(1+i)−Ni−g],(i≠g)P=A_1\left[\frac{1-(1+g)^N(1+i)^{-N}}{i-g}\right],\quad (i\ne g) P=NA11+i,(i=g)P=\frac{NA_1}{1+i},\quad (i=g)
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核心觀念

內部投資報酬率（IRR）是使現金流量淨現值等於零的利率。一般投資案的現金流量通常只由負轉正一次，IRR 較容易有唯一解；本題的差額現金流量正負號多次交替，屬於非傳統型現金流量，可能有多個 IRR，不能只憑單一 IRR 判斷方案優劣。

（一）觀察現金流量差額

現金流量差額依序為負、正、負、正、負、正，共有五次正負號變化。因此，差額現金流量可能有多個 IRR，IRR 判斷不具唯一性。比較方案時，應依題目給定的最低可接受報酬率（MARR）比較差額現金流量的淨現值。

（二）求差額現金流量的 IRR

令 ii 為 IRR，現金流量淨現值等於零：

−10,000+90,0001+i−310,000(1+i)2+510,000(1+i)3−400,000(1+i)4+120,000(1+i)5=0-10{,}000+\frac{90{,}000}{1+i} -\frac{310{,}000}{(1+i)^2} +\frac{510{,}000}{(1+i)^3} -\frac{400{,}000}{(1+i)^4} +\frac{120{,}000}{(1+i)^5}=0

各項同除以 1,0001{,}000，並令 x=11+ix=\dfrac{1}{1+i}，可化為：

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