108 專技高考高等考試 工業工程技師 工程統計與品質管理 考古題詳解

核心觀念

本題評量計數值驗收抽樣檢驗中的雙次抽樣檢驗計畫（Double Sampling Plan）​以及卜瓦松分配（Poisson Distribution）近似計算。

1. 雙次抽樣檢驗計畫參數與判定準則：

• 第一次抽樣：樣本數 $n_1 = 20$，允收數 $c_1 = 1$，拒收數 $r_1 = 3$。
• 若第 1 次抽樣之不良品數 $D_1 \le c_1 = 1$，則整批允收（通過）。
• 若 $D_1 \ge r_1 = 3$，則整批拒收。
• 若 $c_1 < D_1 < r_1$（即 $D_1 = 2$），則進行第二次抽樣。
• 第二次抽樣：樣本數 $n_2 = 30$，累積允收數 $c_2 = 4$，累積拒收數 $r_2 = 5$。
• 若累積不良品數 $D_1 + D_2 \le c_2 = 4$，則整批允收（通過）。
• 若 $D_1 + D_2 \ge r_2 = 5$，則整批拒收。

2. 卜瓦松近似公式： 當批量甚大、抽樣數有限且不良率 $p$ 很小（通常 $p \le 0.1$）時，不良品數 $D$ 可視為服從參數 $\lambda = np$ 之卜瓦松分配： $P(D = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots$

• 第一次抽樣的參數：$\lambda_1 = n_1 p = 20 \times 0.03 = 0.6$
• 第二次抽樣的參數：$\lambda_2 = n_2 p = 30 \times 0.03 = 0.9$
• 兩次抽樣之不良品數 $D_1$ 與 $D_2$ 互為獨立。

解題方法

整批產品「通過（允收）」的總機率 $P_a$ 為兩個互斥事件的機率和： $P_a = P_{a1} + P_{a2}$ 其中 $P_{a1}$ 為「第一次抽樣即允收」的機率，$P_{a2}$ 為「進入第二次抽樣後允收」的機率。

步驟一：計算第一次抽樣即允收之機率（$P_{a1}$）

第一次抽樣中，$D_1 \le 1$ 即判為通過： $P_{a1} = P(D_1 \le 1) = P(D_1 = 0) + P(D_1 = 1)$ 代入 $\lambda_1 = 0.6$（已知 $e^{-0.6} \approx 0.548812$）：

• $P(D_1 = 0) = \frac{e^{-0.6}(0.6)^0}{0!} = e^{-0.6} \approx 0.548812$
• $P(D_1 = 1) = \frac{e^{-0.6}(0.6)^1}{1!} = 0.6 \times e^{-0.6} \approx 0.329287$

相加得： $P_{a1} = 0.548812 + 0.329287 = 0.878099$

步驟二：計算第二次抽樣後允收之機率（$P_{a2}$）

進入第二次抽樣的唯一條件為 $c_1 < D_1 < r_1$，即 $D_1 = 2$。 第二階段判定通過條件為累積不良品數 $D_1 + D_2 \le 4$，因 $D_1 = 2$，故要求 $D_2 \le 4 - 2 = 2$。 因此： $P_{a2} = P(D_1 = 2) \times P(D_2 \le 2)$

1. 計算 $P(D_1 = 2)$： $P(D_1 = 2) = \frac{e^{-0.6}(0.6)^2}{2!} = \frac{0.36}{2} \times e^{-0.6} = 0.18 \times 0.548812 \approx 0.098786$

核心觀念

1. $c$ 管制圖（計數值缺點數管制圖）：

• 適用情境：各樣組之「檢驗單位大小固定」（本題每組固定為 50 件產品），用以監控單位產品或檢驗批上的「缺點數」（Nonconformities）。
• 母體分配假設：假設單位檢驗批上的缺點發生服從卜瓦松分配（Poisson Distribution）。卜瓦松分配之特徵為平均數與變異數相等，即期望值 $E(C) = \lambda = c$，變異數 $\mathrm{Var}(C) = \lambda = c$，標準差 $\sigma_c = \sqrt{c}$。

2. 三倍標準差（$3\sigma$）管制界限：

• 中心線：$CL = \bar{c}$
• 管制上限：$UCL = \bar{c} + 3\sqrt{\bar{c}}$
• 管制下限：$LCL = \bar{c} - 3\sqrt{\bar{c}}$（若計算值小於 $0$，因缺點數非負，實務上取 $LCL = 0$ 或不設下限）。

3. 製程偏移之偵測機率（Power of Control Chart / $1-\beta$）：

• 當製程發生異常，平均缺點數由原先之 $\bar{c}$ 偏移至新參數 $\lambda_{\text{new}}$ 時，單一樣組點落在管制界限外而被警示之機率稱為偵測機率（檢定力，Power）： $1 - \beta = P(\text{點落於管制界限外} \mid \lambda_{\text{new}}) = P(C > UCL \mid \lambda_{\text{new}}) + P(C < LCL \mid \lambda_{\text{new}})$
• 因 $LCL = 0$ 且缺點數不可能為負，出界僅可能發生於上界（$C > UCL$）。因缺點數 $C$ 為非負整數，若 $UCL$ 為小數，出界條件即為 $C \ge \lceil UCL \rceil$。

解題方法

（一）求 $c$ 管制圖的三倍標準差管制界限

1. 計算中心線（平均缺點數 $\bar{c}$）： 抽取 $k = 25$ 組樣組，每組抽 $50$ 件，總共查出 $\sum c_i = 65$ 個缺點。每組（即每 $50$ 件）的平均缺點數為： $\bar{c} = \frac{\sum_{i=1}^k c_i}{k} = \frac{65}{25} = 2.6$

2. 計算三倍標準差管制界限：

• 中心線（$CL$）： $CL = \bar{c} = 2.6$
• 管制上限（$UCL$）： $UCL = \bar{c} + 3\sqrt{\bar{c}} = 2.6 + 3\sqrt{2.6} \approx 2.6 + 3(1.6125) = 2.6 + 4.8374 = 7.4374 \approx 7.44$
• 管制下限（$LCL$）： $LCL = \bar{c} - 3\sqrt{\bar{c}} = 2.6 - 3\sqrt{2.6} \approx 2.6 - 4.8374 = -2.2374$ 因產品外觀缺點數不可能為負數，計算所得之負值無實質物理意義，故下限修正為 $0$（或標明不設下限）： $LCL = 0$

（二）求平均缺點數提升為 $5$ 個時之偵測機率

1. 新狀態之母體分配： 製程失控後，每 $50$ 件之平均缺點數變為 $\lambda_{\text{new}} = 5$。此時每組抽驗之缺點數 $C \sim \text{Poisson}(\lambda = 5)$，其機率質量函數（PMF）為： $P(C = x) = \frac{e^{-5} 5^x}{x!}, \quad x = 0, 1, 2, \dots$

2. 界定偵測到異常之判定準則： 管制界限為 $UCL = 7.44$ 且 $LCL = 0$。 缺點數 $C$ 必須落於管制界限外才會觸發警訊。因 $C \ge 0$，故不可小於 $LCL$； 因此偵測到異常的條件為： $C > 7.44 \iff C \ge 8$

3. 計算型二誤差機率 $\beta$ 與偵測機率 $1 - \beta$： 未被管制圖偵測到之機率（型二誤差 $\beta$）即為缺點數仍落於管制界限內（$0 \le C \le 7$）的機率：

核心觀念

本題評量工業工程技師在「品質改善成效評估」與「製程／服務水準抽樣檢驗」中的推論統計能力，核心架構包含兩大主軸：

1. 單一母體比例的大樣本 $Z$ 檢定（Large-Sample Test for a Population Proportion）： 當樣本數 $n$ 夠大，且滿足常態近似條件（$n p_0 \ge 5$ 且 $n(1 - p_0) \ge 5$）時，依中央極限定理，樣本比例 $\hat{p} = \frac{X}{n}$ 近似服從常態分配： $\hat{p} \sim N\left(p, \frac{p(1 - p)}{n}\right)$ 在虛無假設 $H_0: p = p_0$ 下，標準化檢定統計量為： $Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}}} \sim N(0, 1)$

2. 型二錯誤（Type II Error, $\beta$）與檢定力（Power, $1 - \beta$）：

• 型二錯誤：當對立假設為真（真實滿意度為 $p_1 > p_0$）時，檢定結果卻「未拒絕虛無假設」（未能偵測出改善成效）的機率，記為 $\beta$。
• 計算步驟分為兩階段：

1. 由顯著水準 $\alpha$ 與原假設參數 $p_0$，決定拒絕域的「樣本比例臨界值 $\hat{p}_c$」。
2. 在真實參數 $p = p_1$ 的常態分配下，計算樣本比例落入接受域（未拒絕域）的累積機率： $\beta = P(\hat{p} \le \hat{p}_c \mid p = p_1) = \Phi\left(\frac{\hat{p}_c - p_1}{\sqrt{\frac{p_1(1 - p_1)}{n}}}\right)$

解題方法

（一）檢定滿意度是否有提升（10 分）

步驟一：建立統計假設 題目旨在檢定顧問改善措施後滿意度是否「提升」，故採用右尾檢定：

• 虛無假設 $H_0: p \le 0.79$（滿意度未提升）
• 對立假設 $H_1: p > 0.79$（滿意度顯著提升）

步驟二：檢驗常態近似條件 樣本數 $n = 200$，基準比例 $p_0 = 0.79$： $n p_0 = 200 \times 0.79 = 158 \ge 5$ $n (1 - p_0) = 200 \times 0.21 = 42 \ge 5$ 條件滿足，可採用標準常態 $Z$ 檢定。

步驟三：計算樣本比例與檢定統計量

• 樣本滿意人數 $X = 167$，樣本比例為： $\hat{p} = \frac{167}{200} = 0.835$
• 虛無假設下樣本比例的標準誤（Standard Error）： $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0.79 \times 0.21}{200}} = \sqrt{\frac{0.1659}{200}} = \sqrt{0.0008295} \approx 0.0288$
• 計算檢定統計量 $Z$ 值： $Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}}} = \frac{0.835 - 0.79}{0.0288} = \frac{0.045}{0.0288} \approx 1.5625 \approx 1.56$

步驟四：統計決策

• 給定顯著水準 $\alpha = 0.05$，右尾檢定的臨界值為 $z_{0.05} = 1.645$。
• 拒絕域為 $\{Z \mid Z > 1.645\}$。
• 比較結果：$Z = 1.56 < 1.645$（或 $p\text{-值} = P(Z \ge 1.56) = 0.0594 > 0.05$），檢定統計量未落入拒絕域。

步驟五：結論 在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 之下，統計證據不足以拒絕虛無假設，無法證明顧客滿意度有顯著提升。

（二）計算型二錯誤 $\beta$（15 分）

步驟一：求出拒絕域的臨界樣本比例 $\hat{p}_c$

• 題意設定顯著水準 $\alpha = 0.10$。查標準常態分配表得右尾臨界值： $z_{0.10} = 1.282 \quad (\text{亦常用 } 1.28)$
• 拒絕域條件為：

核心觀念

本題考量具重複性與再現性（Gage R&R）及兩位檢驗員的平均量測差異。

• 重複性（Repeatability）：同一檢驗員以同一方法重複量測時的變異。本題用極差法估計，三次量測的 $d_2=1.693$。
• 再現性（Reproducibility）：不同檢驗員之間的量測變異。
• 量測誤差（GRR）：重複性與再現性的合成標準差，$GRR=\sqrt{EV^2+AV^2}$。
• 第二小題因 A、B 量測的是相同 10 件物品，須以每件物品的兩位檢驗員平均值作成配對樣本 t 檢定。
• 第三小題未提供公差或標準值，因此無法計算需要公差及標準值的 $Cg$、$Cgk$。以下以各檢驗員的重複性標準差比較相對量測精度。

（一）重複性、再現性與量測誤差

先計算各檢驗員、各物件三次量測的極差。表中物件 6 至 10 的數值與物件 1 至 5 重複，依題目資料計算。

因此兩位檢驗員合併的平均極差為

重複性標準差估計值為

再計算兩位檢驗員的總平均：

兩位檢驗員平均值差為 $0.0180$。以平均值與極差法計算再現性時，扣除重複性影響後的估計量為負值，按量具 R&R 慣例將再現性變異估計為零：

其中以 $1$ 作為兩位檢驗員的差異估計常數；本題差異很小，扣除重複性項後仍為負值，採零值處理。

所以量測誤差為

若以 $6\sigma$ 表示量測誤差範圍，則 $6GRR=1.5168$。

（二）檢定兩位檢驗員的量測結果是否有差異

令每件物品的差為 $d_i=\bar X_{Ai}-\bar X_{Bi}$。依題目表格，物件 6 至 10 的資料重複物件 1 至 5，因此差值為：